Borel konvergens

Borel- konvergens är en generalisering av konceptet seriekonvergens som föreslagits av den franske matematikern Emile Borel . Det finns två icke-ekvivalenta definitioner som är förknippade med namnet Borel.

Definition

Låt en nummerserie ges . En serie kallas Borelkonvergent (eller B -konvergent) om det finns en gräns : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!)}}S_{ k }=S,

där S k är seriens delsummor. Talet S kallas då för seriens Borelsumma.

Låt en talserie ges . En serie kallas Borelkonvergent (eller B ' -konvergent) om det finns en integral : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!)}}t^{n}=S

Exempel

Betrakta serien Den här serien är divergerande för en godtycklig serie . Men enligt de integrerade definitionerna av Borel-konvergens har vi: $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ $x\neq 0.$

\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\ infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t)){1-xt)),

och summan är specifik för negativa värden på x .

Egenskaper

Låt funktionen:

{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

är regelbunden vid noll och C är mängden av alla dess singularpunkter . Genom varje punkt ritar vi ett segment och en rät linje som går genom punkten P vinkelrätt mot . Uppsättningen punkter som ligger på samma sida med noll till var och en av de raka linjerna betecknas med . Då kallas gränsen för regionen Borel-polygonen för funktionen f(z) , och regionen kallas dess inre region. Teoremet är sant: serien $P\in C$ $OP$ $L_{p}\,,$ $OP$ $L_{p}\,,$ $\Pi$ $\Gamma$ $\Pi$ $\Pi$

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k))

är B -konvergent i domänen och är inte B -konvergent i domänen — utfylld till . $\Pi$ $\Pi ^{*}$ $\Pi$

Se även

Länkar

Borels summationsmetod , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Borel Summation

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. Volym 2. - Red. 6-is, stereotypt. — M.: Nauka, 1966
Hardy G., Divergent series, övers. från engelska, M., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borels metoder för summering: teori och tillämpningar, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .