Kloosterman summerar

Kloosterman summor - ämnet för studier av analytisk talteori , trigonometriska summor över element i restringen , reciproka i modul till elementen i någon uppsättning med en naturlig struktur (vanligtvis ett intervall eller primtal från ett intervall).

De första uppskattningarna av summor erhölls av Kloosterman 1926 i samband med studiet av antalet representationer av tal i formen . [ett] $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$

Definition

Låt vara ett godtyckligt heltal och låt notationen införas för coprime med . Sedan för den totala Kloosterman summan är summan av formen $q\geq 3$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q))$ $q$ $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q))$

S(q;a,b):=\summa \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left( {a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .

En ofullständig summa kallas en summa över ett visst intervall . [2] ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$

Ibland summor över primtal [3] , multilinjära summor som involverar inversa element [4] och andra summor av formen , där . ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q))$

För givna beräknas Kloosterman summor vanligtvis för godtyckliga , inklusive . $q$ ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q))$ ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)))$

Egenskaper

Vid urartar de totala Kloosterman-summorna till en Ramanujan-summa . $a=0$

Om så är fallet reduceras uppskattningsfrågan till fallet . $(q_{1},q_{2})=1$ $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$ $S(q)$ $q=p^{n}$

Betyg

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q))$ , var är antalet divisorer . Av detta följer att för ev . [5] $\tau (q)$ $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn} \right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ $x<q$

För summor av den senare typen för är även andra uppskattningar kända som är icke-triviala för . [6] $q=p,\ b=0$ $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$

Anteckningar

↑ Kloosterman, 1926 .
↑ Korolev (1), 2016 , sid. 80.
↑ Baker, 2012 .
↑ Burgain, Garaev, 2014 .
↑ Korolev (1), 2016 , formel (1) och sats 3
↑ Burgain, Garaev, 2014 , sats 16; se även en genomgång av liknande resultat i Korolev (2), 2016 , sid. 838–839

Litteratur

HD Kloosterman. Om representationen av tal i formen $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$ (engelska) // Acta Math .. - 1926. - Vol. 49 , iss. 1 . — S. 407–464 .

M. A. Korolev. Metoder för att uppskatta korta summor av Kloosterman // Chebyshevsky-samlingen. - 2016. - T. 17 , nr. 4 . — s. 79–109 . (ryska)

M. A. Korolev. På korta Kloosterman summerar modulo a primtal // Matematiska anteckningar . - 2016. - T. 100 , nej. 6 . — S. 838–846 . (ryska)

J. Bourgain, M.Z. Garaev. Summan av mängder som bildas av inversa element i fält av prime ordning och multilinjära Kloosterman-summor // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , nr. 4 . — S. 19–72 . - arXiv : 1211.4184 . (ryska)

R. C. Baker. Kloosterman summerar med primtalsvariabel (engelska) // Acta Arithmetica. - 2012. - Vol. 156 . — S. 351–372 .