Ramanujan summerar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Ramanujan- summor är trigonometriska summor beroende på två heltalsparametrar och , av formen: $k$ $n$

c_{k}(n)=\summa _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k))\right)=\summa _{h}\exp \left( {\frac {2\pi nhi}{k}}\höger),

var och . ${\displaystyle h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0))$ $(h,\;k)=1$

Den huvudsakliga egenskapen hos Ramanujan-summor är deras multiplikativitet med avseende på indexet , dvs. $k$

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

om . $(k,\;k')=1$

Summorna kan representeras i termer av Möbius-funktionen : $c_{k}(n)$ $\mu$

c_{k}(n)=\summa _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d))\right)d.

Ramanujan-summorna är gränsade för bounded antingen , eller . Så till exempel . $k$ $n$ $c_{k}(1)=1$

Tillämpning av Ramanujan summor

Många multiplikativa funktioner i ett naturligt argument kan utökas till serier i . Det omvända är också sant. $c_{k}(n)$

Huvudegenskaperna för summor låter dig beräkna summor av formen:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s))}f(n),\quad \sum _{k=1 }^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}f(k),

där är en multiplikativ funktion , är ett heltal , är i allmänhet komplex. $f(n)$ $q$ $s$

I det enklaste fallet kan man få

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}={\frac {\sigma _{1-s}( n)}{\zeta (s)))),

där är Riemanns zeta-funktion , är summan av talets divisorer . $\zeta (s)$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

Sådana summor är nära besläktade med speciella serier av några additiva problem i talteorin , som att representera naturliga tal som ett jämnt antal kvadrater. I [1] finns många formler som innehåller dessa summor.

Litteratur

Ramanujan S. Transaktioner från Cambridge Philosophical Society. - 1918. - v. 22.-s. 259-276.
Hardy GH Proceedings från Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20.-s. 263-271.
Ramanujan S. Samlade papper. - Cambridge, 1927. - sid. 137-141.
Volkmann B. Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Bd 271. - S. 203-213.
Titchmarsh, E. K. Teorin om Riemanns zetafunktion. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 407 sid. — ISBN 5114800906 . .
Levin V. I. Historisk och matematisk forskning . - vol. 13. - M .: VINITI , 1960.