Sfäricitet

Sfäricitet är ett kvantitativt mått på hur sfäriskt (rundt) ett föremål är.

En partikels sfäricitet definierades av H. Wadell 1935 [1] och är förhållandet mellan ytarean av en sfär (med samma volym som den givna partikeln) och partikelns yta: $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

där är lika med partikelns volym och är lika med partikelns yta. En sfärs sfäritet är lika med en per definition, och på grund av den isoperimetriska ojämlikheten är sfäriciteten för någon annan kropp mindre än en. $V_{p}$ $A_{p}$

Härledning av formeln

Hakon Wadell definierade sfäricitet som förhållandet mellan ytarean av en sfär lika i volym till en given partikel till ytarean av en given partikel. Betrakta först en sfärisk partikel vars ytarea och dess volym är lika med volymen av partikeln som studeras. $Som$ $V_{p}$

Vi uttrycker ytan av denna partikel i termer av dess volym : $Som$ $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\ pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{ 2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2} =36\,\pi V_{p}^{2}.

Följaktligen,

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3} }\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1 }{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2 }{3}}.

Då tar uttrycket för sfäricitet för en godtycklig partikel med ytarea och volym formen $\psi$ $A_{p}$ $V_{p}$

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right) ^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.

Exempel

Ellipsoida objekt

Sfäriciteten hos en oblate sfäroid är $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={ \frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}} }\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2)))){b}}\right)}}},

där a och b är lika med sfäroidens stora och mindre halvaxlar.

Sfäricitet för vissa objekt

namn	Volym	Ytarea	Sfäricitet
Platonska fasta ämnen
Tetraeder	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\approx 0,671$
Kub (hexaeder)	$\,s^{3}$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,806$
Oktaeder	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\approx 0,846$
Dodekaeder	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi}{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right )^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,910$
icosahedron	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,939$
Kroppar med axiell symmetri
Kon $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2))})$ ${\displaystyle =4\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,794$
hemisfär	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,840$
Cylinder $(h=2\,r)$	${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3))$	${\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,874$
Thor $(R=r)$	${\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3))$	${\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2))$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0,894$
Sfär	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2))$	$1\,$

Se även

Isoperimetriskt förhållande

Anteckningar

↑ Wadell, Hakon. Volym, form och rundhet av kvartspartiklar // Journal of Geology : journal. - 1935. - Vol. 43 , nr. 3 . - S. 250-280 . - doi : 10.1086/624298 .