Teleskopisk rad

En teleskopserie i matematik är en oändlig serie , vars summa lätt kan erhållas, baserat på det faktum att när parentesen öppnas tar nästan alla termer ut varandra. Namnet ges i analogi med teleskopröret , som kan minska dess längd genom att vikas flera gånger.

Det mest kända exemplet på en sådan serie är summan av ömsesidiga rektangulära tal : , vilket förenklas enligt följande: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))&{}=\summa _{n=1}^ {\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\\&{}=\left(1-{\frac {1 }{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =\\&{}=1+\vänster (-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3 }}\right)+\cdots =1.\end{aligned}}

Kärnan i teleskopiska summor är att varje term i serien representeras som en skillnad, och därför förenklas seriens delsumma:

\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3 })+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}

På samma sätt kan man föreställa sig en "teleskopisk" produkt, det vill säga en oändlig produkt av formen:

\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}} \cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{ n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}

När man summerar villkorligt konvergenta oändliga serier måste man vara uppmärksam på att en omarrangemang av termer kan leda till en förändring av resultatet (se Riemanns sats om villkorligt konvergenta serier ). Till exempel, "paradoxen" med Grandi-serien :

0=\summa _{n=1}^{\infty }0=\summa _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\summa _{n=1}^ {\infty }(-1+1)=1

Detta kan undvikas genom att alltid beakta summan av de första n termerna och sedan hitta gränsen vid . $n\till\infty$

Exempel

Många trigonometriska funktioner tillåter en representation som en skillnad, vilket gör det möjligt att organisera den ömsesidiga förintelsen av motsvarande termer

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\summa _{n=1}^{N}{\frac { 1}{2}}\operatörsnamn {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\ sin \left(n\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\ summa _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2 }}\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\ cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}

delsumman av en geometrisk progression :

(x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\summa _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{ k})=x^{n+1}-1.

ibland måste du tillämpa den "teleskopiska" transformationen två gånger:

{\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n }(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\summa _{k=1}^{n}[kx^{k+1}- (k-1)x^{k}]-\summa _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+ 1 }-(n+1)x^{n}+1\end{aligned}}

En annan metod för att beräkna denna summa är att representera termerna som en derivata av en geometrisk progression:

\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}\summa _{k= 0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x- 1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={ \frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}

Se även

Euler-seriens transformation
Diskret Abel transformation
Konvergensacceleration