Abels sats

Abels sats är ett resultat av teorin om maktserier , uppkallad efter den norske matematikern Niels Abel . Det omvända till det är Abel-Tauber-satsen .

Uttalande

Låt vara en potensserie med komplexa koefficienter och konvergensradie . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Om serien är konvergent då: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\summa _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Bevis

En förändring av variabler kan övervägas . Också (genom det nödvändiga urvalet av ) kan vi anta . Låt oss beteckna seriens delsummor . Enligt antagandet och det är nödvändigt att bevisa att . $u=x/R$ $R=1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Överväg . Sedan (förutsatt ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\summa _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

Härifrån visar det sig . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n))$

För ett godtyckligt finns ett naturligt tal , som är för alla , så: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ $n>N_{0}$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

Den högra sidan tenderar att när den går till 1, i synnerhet är den mindre när den går till 1. $\varepsilon$ $x$ $2\varepsilon$ $x$

Exempel

Exempel 1

Låt oss ta . Eftersom serien konvergerar har vi: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\summa _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

Exempel 2

Låt oss ta . Eftersom serien konvergerar har vi: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\summa _{n\geqslant 0}{\ frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

Länkar

Abel summability (engelska) på PlanetMath-webbplatsen . (en mer allmän titt på Abeliska satser av denna typ)
Weisstein, Eric W. Abels konvergenssats (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .