Lagranges sats (talteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Inom talteorin är Lagranges sats ett uttalande, uppkallat efter Joseph-Louis Lagrange, om villkoren under vilka värdet av ett polynom med heltalskoefficienter kan vara en multipel av ett fast primtal .

Formulering

Om är ett primtal , är ett polynom av grad med heltalskoefficienter , då [1] : $sid$ $f(x)$ $n$

eller alla koefficienter är multiplar $f(x)$ $p;$
eller jämförelsen har som mest lösningar. $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $n$

Anteckningar

Om alla koefficienter är multiplar är vilket värde som helst en lösning på den givna jämförelsen. $f(x)$ $p,$ $x$
Enkelheten i en modul är väsentlig, för en sammansatt modul är satsen generellt sett inte sann. Till exempel, jämförelse: har 4 lösningar [2] : $sid$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Bevis för Lagranges teorem

Låta vara ett polynom över ringen som erhålls genom att ersätta varje koefficient med motsvarande restklass modulo $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $sid.$

Lemma 1. är delbart med om och endast om Bevis . If är delbart med då och , genom konstruktion, faller i samma klass av rester som det är i nollklassen. Och vice versa, om den beräkningen ger ett resultat från en restklass som innehåller d.v.s. delbart med ■ $fa)$ $sid$ $g(a)=0.$ $fa)$ $p,$ $g(a)$ $p,$ $g(a)=0,$ $fa)$ $p,$ $sid.$

Lemma 2. Ett polynom , om det inte är ett nollpolynom, kan inte ha fler rötter. Bevis. Eftersom är ett primtal, är ett fält , och ett polynom som inte är noll av grad i vilket fält som helst har högst rötter, eftersom varje rot lägger till ett monom till expansionen av polynomet ■ $g(x),$ $n$ $sid$ $\mathbb {Z} /p$ $n$ $n$ $r$ $(xr).$

Bevis för satsen . Om är ett nollpolynom betyder detta, enligt dess konstruktion, att alla koefficienter är multipler . Annars följer det av det första lemmat att antalet lösningar av ekvationen som är ojämförbara i absolut värde sammanfaller med antalet rötter i polynomet som enligt andra lemma inte överstiger ■ $g(x)$ $f(x)$ $sid.$ $n$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $g(x).$ $n.$

Variationer och generaliseringar

Lagranges teorem är giltig inte bara för polynom över ringen av heltal, utan för polynom över vilken annan integritetsdomän som helst [3] . ${\mathbb {Z}),$

Anteckningar

↑ Vinogradov, 1952 , sid. 60.
↑ Davenport, 1965 , sid. 55.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , sid. 174.

Litteratur

Vinogradov I.M. Fundamentals of Number Theory. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 60-65. — 180 s.
Davenport G. Högre aritmetik / ed. Yu. V. Linnik , övers. B. Z. Moroz - M .: Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 sid.
Lagrangesats // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 174.