Liouvilles sats om konforma avbildningar

Liouvilles konforma kartläggningssats säger att

någon konform kartläggning av en domän av euklidisk rymd vid kan representeras som ett ändligt antal superpositioner av isometrier och inversioner . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geqslant 3$

Denna sats avslöjar fattigdomen i klassen av konforma mappningar i rymden, och ur denna synvinkel är den mycket viktig i teorin om analytiska funktioner för flera komplexa variabler och i teorin om kvasikonformella mappningar . I jämförelse är två anslutna enkelt anslutna domäner med mer än en gränspunkt konformt ekvivalenta (detta är Riemanns kartläggningssats ). $\mathbb {R} ^{2}$

Teoremet bevisades av Liouville 1850 . År 1967 generaliserade Reshetnyak satsen till fallet där kartläggningen antas ha endast generaliserade derivator (som ligger i ett Sobolev-rum ). [ett] $W_{n}^{1}$

Skiss av beviset

När det gäller oändligt differentierbara avbildningar, följer beviset från ett mer allmänt påstående om differentialgeometri.

Låt vara en Riemann-manifold, och vara en slät hyperyta i den, vara dess yttre krökningsoperator (det vill säga en operator så att det finns en andra grundläggande form), och vara en positiv funktion på . Sedan uttrycks operatorn för utåtriktad krökning av metriken som , där är fältet för utåtriktade normaler till , a är Lie-derivatan . $(X,g)$ $S\subset X$ $A\colon TS\to TS$ $g(Au,v)=\mathrm {I\!I} (u,v)$ $f$ $X$ $g'=fg$ $A'(u)={\frac {\sqrt {f}}{2}}A(u)-\left(L_{\mathbf {n} _{S}}{\sqrt {f}} \right)u$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{S))$ $S$ $L$

Det följer att även om den yttre krökningsoperatorn i sig inte är en konform invariant (vilket är uppenbart för Möbius-transformationerna , som översätter totalt geodetiska plan – dvs. med identisk noll yttre krökning – plan till cirkulära sfärer), uppsättningen punkter där dess egenvärden sammanfalla ( huvudsakliga krökningar ), konformt invariant. Dessa punkter kallas avrundningspunkter . I synnerhet omvandlas helt navelformade ytor - det vill säga de vars alla punkter är avrundande punkter - genom konforma transformationer till helt navelformade. Dessa är uttömda av områdena av sfärer och plan, vilket fullbordar beviset för satsen. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Dessutom följer det av denna formel att egenvektorerna för den yttre krökningsoperatorn också är konformt invarianta, och därmed de lokala integrallinjerna för motsvarande egenvektorfält - de så kallade krökningslinjerna . Detta påstående noteras av Schouten och Struik . [2]

Observera att det inte finns några begränsningar för dimensionen av det omgivande grenröret i denna sats. Följden i detta fall är dock en tautologi, eftersom den yttre krökningsoperatorn bara har ett egenvärde på en kurva i planet, och därför är varje kurva helt navelsträng (vilket stämmer väl överens med det faktum att alla jämna Jordan-kurvor är mappade i varje annat genom konforma mappningar av de domäner som avgränsas av dem ).

Andra konforma invarianter

Geometrin hos konforma mappningar är särskilt rik för ytor i . I det här fallet är invarianten av den konforma transformationen inte bara ytans avrundningspunkter, utan den så kallade Wilmore-integranden, , där är dess medelkrökning , är den Gaussiska krökningen , och är areans form. Denna form nollställs exakt vid ytans avrundningspunkter. Integralen kallas Wilmor-funktionalen. $S^{3}$ ${\displaystyle (H^{2}-K)\omega _{g))$ $H$ $K$ ${\displaystyle \omega _{g))$ ${\displaystyle \int _{S}(H^{2}-K)\omega _{g))$

I analogi med den yttre krökningsoperatorn, vars egna riktningar är konformt invarianta, även om den själv förändras under konforma transformationer, introducerade Bryant den konforma Gaussiska kartan . Nämligen, även om konceptet med ett tangentplan inte är konformt invariant, är konceptet med en tangentsfär som har samma medelkrökning som ytan vid tangenspunkten redan konformt invariant. Sfärer i , om de implementeras som en uppsättning isotropa strålar i Minkowski-rymden , skärs ut av signaturhyperplan - och de bestäms av deras normalenhet, det vill säga hyperboloidens punkt . Att associera en ytpunkt med en Möbiuspunkt hos hyperboloiden som motsvarar dess tangentsfär är ekvivariant under inverkan av Möbiusgruppen ; detta är den konforma Gaussiska kartan. [3] $S^{3}$ $S^{3}$ $\mathbb {R} ^{4,1}$ $\mathbb {R} ^{3,1}$ ${\displaystyle Q=\{(v,v)=1\}\subset \mathbb {R} ^{4,1))$ $S^{3}$ $\mathrm {SO} (4,1)$

Förhållande med komplex geometri

Det skulle vara ett misstag att dra slutsatsen, i motsats mellan Liouvilles sats för och Riemanns sats för , att konforma kartläggningar av utrymmen av högre dimension inte är relevanta för komplex analys och geometri. Tvärtom, rikedomen i strukturerna i flerdimensionell komplex geometri förhindrar existensen av konforma transformationer av andra euklidiska domäner än Möbius. Så, för tredimensionella grenrör, inducerar deras konforma kartläggning en RC-holomorf kartläggning av deras Lebrun-vridningar ; i fallet med ett euklidiskt rum definierar hissar av runda sfärer till Lebruns vridningar ett rutnät av holomorfa kurvor på dem, som måste översättas till varandra under dessa avbildningar, vilket bestämmer strikta villkor för dem, som i slutändan reduceras till Möbius. $n>2$ $n=2$

Anteckningar

↑ Yu. G. Reshetnyak. "Liouvilles teorem om konforma kartläggningar under minimala regularitetsantaganden", Sibirsk. matematik. tidskrift 8:4 (1967), 835-840
↑ I. A. Schouten och D. J. Stroyk. Introduktion till nya metoder för differentialgeometri. Per. från tyska B. A. Rosenfeld och I. M. Yaglom , 1948, M., State Publishing House of Foreign Literature. S. 228.
↑ Bryant, Robert L. En dualitetssats för Willmore-ytor. J. Differential Geom. 20 (1984), nr. 1, 23-53.