Mergelyans teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Mergelyans teorem är ett uttalande om möjligheten av enhetlig approximation av polynom av funktioner av en komplex variabel ; etablerat bevisat av den sovjetiske matematikern Sergei Mergelyan 1951 .

Enligt satsen kan varje kontinuerlig funktion på en kompakt uppsättning med ett anslutet komplement till det komplexa planet (det vill säga ansluten), holomorphic på inre punkter , enhetligt approximeras av polynom . $f\colon K\to \mathbb {C}$ $K$ $\mathbb {C} \setminus K$ $K$

Satsen är en utveckling och generalisering av Weierstrass och Runge satserna och används i stor utsträckning inom olika områden av komplex analys ; detta resultat krönte en stor serie artiklar om teorin om approximation i det komplexa fallet. I synnerhet 1936 bevisade Lavrentiev påståendet för fallet när det inte har några inre punkter, och 1945 etablerade Keldysh ett resultat för fallet när är en stängd domän med ett kopplat komplement. $K$ $K$

Bevismetoden som tillämpas av Mergelyan är konstruktiv och förblir det enda kända konstruktiva beviset för resultatet.

Litteratur

Mergelyans teorem - artikel från Encyclopedia of Mathematics . E. M. Chirka
S. N. Mergelyan. Enhetliga approximationer av funktioner hos en komplex variabel // Uspekhi Mat. - T. 7 , nr 2 (48) . - S. 31-122 .
Lennart Carleson. Mergelyans teorem om enhetlig polynomapproximation // Math . Scand. - 1964. - Vol. 15 .
Dieter Gaier. Föreläsningar om komplex approximation. - Boston: Birkhäuser, 1987. - ISBN 0-8176-3147-X .
W. Rudin. Verklig och komplex analys. N.Y .: McGraw - Hill. — ISBN 0-07-054234-1 .
A. G. Vitushkin . Analytisk kapacitet hos mängder i problem med approximationsteori // Uspekhi Mat . - 1967. - T. 22 , nr 6 (138) .
A. G. Vitushkin. Ett halvt sekel som en dag // UMN. - 2002. - T. 57 , nr 1 (353) .