Nash-Kuipers sats

Nash-Kuiper-satsen säger att varje mjuk kort inbäddning (eller nedsänkning ) av ett -dimensionellt Riemann-grenrör i ett euklidiskt utrymme vid kan approximeras genom en -slät isometrisk inbäddning (eller nedsänkning, respektive). $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q))$ $q>n$ $C^1$

Formulering

Termen "isometrisk inbäddning/nedsänkning" betyder här inbäddning/nedsänkning, vilket bevarar kurvornas längder.

Mer exakt:

Låt vara ett Riemannskt grenrör och vara en kort -smidig inbäddning (eller nedsänkning ) i euklidiska rymden och . Sedan för alla finns det en inbäddning (eller, respektive, en nedsänkning) sådan att $(M,g)$ ${\displaystyle f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q))$ $q>n$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$

$f_{\varepsilon }$ är slät, $C^1$
(isometrisk) för alla två tangentvektorer i tangentrymden för en punkt har vi: $v,w\in T_{x}(M)$ $x\i M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -närhet) för alla . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ $x\i M$

Detta resultat är mycket kontraintuitivt . I synnerhet följer det av den att vilken sluten orienterad yta som helst kan vara isometriskt inbäddad i en godtyckligt liten tredimensionell boll. Det följer av Gauss formel att en sådan inbäddning är omöjlig i -inbäddningsklassen. $C^1$ $C^{2}$

Historik

Satsen bevisades av Nash under antagandet istället och fördes till nuvarande form av Kuiper med hjälp av ett enkelt knep. $q>n+1$ $q>n$

Generaliseringsvariationer

Nash-teorem om vanliga inbäddningar
Gromovs vecksats säger att för varje kort mappning från ett -dimensionellt Riemannmanifold till det existerar en godtyckligt nära (icke jämn) mappning som bevarar längden på kurvorna. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Litteratur

N. H. Kuiper . Om C 1 -isometriska inbäddningar // Matematik . - 1957. - T. 1 , nr 2 . - S. 17-28 . (ryska)

J. Nash . C 1 -isometriska inbäddningar // Matematik . - 1957. - T. 1 , nr 2 . - S. 3-16 . (ryska)