Nash-Mosers teorem

Nash-Moser-satsen är en av generaliseringarna av inversfunktionssatsen . En variant av detta teorem användes av John Forbes Nash för att bevisa Regular Embedding Theorem . Det framgår av hans artikel att hans metod kan generaliseras. Juergen Moser visade att Nash-metoden är tillämpbar för att lösa periodiska omloppsproblem inom himlamekanik i Kolmogorov-Arnold-Moser-teorin . Hittills finns det flera versioner av formuleringen, som ägs av Gromov , Hamilton , Hermander , Moser, Saint-Raymond, Schwartz och Sergerart.

Ett av bevisen för satsen bygger på användningen av en modifierad version av Newtons process för att hitta en lösning på ekvationen. Andra tillvägagångssätt, i synnerhet de av Nash och Hamilton, följer lösningen av en vanlig differentialekvation i ett funktionsrum.

Idé om beviset

Detta avsnitt är endast avsett att beskriva idén och är därför avsiktligt felaktigt.

Anta att det är en differentialoperator av första ordningen definierad på jämna funktioner mellan vektorrum , så att den definierar en mappning för varje . Antag att för någon funktion lineariseringen har en rätt invers operator för vilken funktion som helst som är tillräckligt nära . $P$ ${\displaystyle P\colon C^{k+1}\to C^{k))$ $k$ $f_{0}\in C^{k+1}$ ${\displaystyle D_{f}P\kolon C^{k+1}\till C^{k))$ ${\displaystyle S_{f}\colon C^{k}\to C^{k))$ $f$ $f_0$

Observera att sammansättningen och förlorar en derivata . Av detta kan man se att försök att använda Newtons metod för att hitta en lösning misslyckas. Det vill säga om är en sekvens av funktioner som bestäms iterativt $S_{f}\circ D_{f}P$ $P(f)=g_{\infty }$ $(f_{n})$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},

sedan följer det , och sedan . Av samma skäl, , , och så vidare. Efter ett ändligt antal steg måste iterationen avslutas, eftersom den kommer att förlora all regelbundenhet, och nästa steg kommer inte ens att fastställas. $f_{0}=f\in C^{k+1}$ ${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k))$ $f_{1}\in C^{k}$ $f_{2}\in C^{k-1}$ $f_{3}\in C^{k-2}$

För att lösa detta problem använder Nash en utjämningsoperator som för en given funktion returnerar en jämn funktion som är nära originalet om . Därefter bestäms den "utjämnade" Newton-iterationen $\theta_n$ $f$ $\theta _{n}(f_{n})$ $n$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\ stor )}.

Denna modifierade process har inte samma svårighet som den tidigare "outjämnade" versionen, eftersom det är en iteration i utrymmet av smidiga funktioner som aldrig förlorar regelbundenhet.

Med korrekt valda utjämningsoperatorer konvergerar denna sekvens verkligen till lösningen ; det vill säga . ${\displaystyle f_{\infty ))$ $P(f_{\infty })=g_{\infty }$

Litteratur

M.L. Gromov . Utjämning och inversion av differentialoperatorer // Matem. lör - 1972. - T. 88 (130) , nr 3 (7) . — S. 382–441 . (ryska)

Gromov M. Differentiella relationer med partiella derivator. — M .: Mir, 1990. — 536 sid. - ISBN 5-03-001297-4 , 3-540-12177-3.

J. Nash . Inbäddningsproblemet för Riemannska grenrör // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , nr 4 (160) . - S. 173-216 .

Hamilton, Richard S. (1982), The inverse function theorem of Nash och Moser , Bull. amer. Matematik. soc. (NS) vol. 7 (1): 65–222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 -1982-15004-2 >

Hörmander, Lars (1976), Den fysiska geodesins gränsproblem, Arch. Rationell Mek. Anal. T. 62 (1): 1-52
- Hörmander, L. (1977), Rättelse till: "Den fysiska geodesins gränsproblem", Arch. Rationell Mek. Anal. T. 65 (44): 395

Moser, Jürgen (1966a), En snabbt konvergent iterationsmetod och icke-linjära partiella differentialekvationer. Jag , Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa (3) vol. 20:265–315 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_2_265_0 >

Moser, Jürgen (1966b), En snabbt konvergent iterationsmetod och icke-linjära partiella differentialekvationer. II , Ann. Scuola Norm. Supera. Pisa (3) vol. 20: 499–535 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_3_499_0 >

Nash, John (1956), The imbedding problem for Riemannian manifolds , Annals of Mathematics vol. 63 (1): 20–63 , DOI 10.2307/1969989 .

Saint-Raymond, Xavier (1989), A simple Nash-Moser implicit function theorem, Enseign. Matematik. (2) T. 35 (3-4): 217-226

Schwartz, J. (1960), Om Nashs implicita funktionella teorem, Comm. Rent äpple. Matematik. T. 13: 509-530

Sergeraert, Francis (1972), Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications, Ann. sci. Ecole Norm. Supera. (4) volym 5: 599-660

Zehnder, E. , Generaliserade implicita funktionssatser med tillämpningar på några små divisorproblem. I Comm. Rent äpple. Matematik. T. 28: 91-140

Zehnder, E. , Generaliserade implicita funktionssatser med tillämpningar på några små divisorproblem. II, Comm. Rent äpple. Matematik. T. 29 (1): 49-111