Rees-Fischers teorem

Ries-Fischer-satsen är ett funktionellt analysuttalande om isometrin och isomorfismen i Lebesgue -utrymmet och Hilbert-utrymmet . $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$

Bevisades 1907 oberoende av Frigyes Ries och Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Bevis

Låt oss ta i rymden ett komplett ortonormalt system . Sedan för alla vi har , och i kraft av Parsevals jämlikhet . Således kan sekvensen av Fourier-koefficienter för en funktion ses som ett element i ett Hilbert-utrymme . I det här fallet är korrespondensen tydlig. Låt, tvärtom, ges ett element av Hilbert-utrymmet . Låt oss formellt betrakta serien , där är samma kompletta ortonormala system. Sekvensen av delsummor av denna serie konvergerar i genomsnitt i sig själv, eftersom för och på grund av konvergensen av serien . Eftersom utrymmet är komplett betyder det att serien konvergerar, dess summa har Fourierkoefficienter , och vi sätter denna summa i överensstämmelse med elementet . Återigen är korrespondensen tydlig. Så vi har etablerat en en-till-en-överensstämmelse mellan rymdelementen och . Eftersom, uppenbarligen, och , det följer av , det vill säga korrespondensen som etablerats av oss är en isomorfism. Slutligen, för alla två element , vi har, i kraft av Parseval jämlikhet , och korrespondensen som upprättats av oss kommer att bevara avståndet, det vill säga de är isometriska . $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x(t)=\summa _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\left(x,\varphi _{{i}}\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x\in l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\right\}$ $x(t)\högerpil x$ ${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\right\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $s_{{n}}(t)=\summa _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\summa _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\summa _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\högerpil 0$ $n \högerpil \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\högerpil y(t)$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\summa _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\summa _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\summa _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\vänsterhögerpil x,y(t)\vänsterhögerpil y$ $x(t)+y(t)\vänsterhögerpil x+y,\lambda x(t)\vänsterhögerpil \lambda x$ $x(t),y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\summa _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\summa _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\left(a,b\right)$ $l_{{2}}$

Litteratur

Sobolev VI Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. - M .: Nauka, 1968 - s. 218.