Sats om att skära en kvadrat i trianglar med lika stor yta

Satsen om att skära en kvadrat i trianglar med samma area säger att en kvadrat inte kan skäras till ett udda antal trianglar med samma area [1] .

Teoremet är känt för sitt oväntade bevis med 2-adic-normen .

Historik

Problemet ställdes av Fred Richman i American Mathematical Monthly 1965 och löstes av Paul Monsky 1970 [2] .

Med hjälp av 2-adiska siffror konstrueras en viss trefärgsfärgning av punkterna på enhetsrutan.

Huvudegenskaperna för färgning är följande:

Arean av en triangel med hörn i olika färger kan inte uttryckas som en bråkdel med en udda täljare och nämnare.
- I synnerhet, om det fanns en uppdelning av en kvadrat i ett udda antal lika stora trianglar, skulle ingen av trianglarna ha hörn av alla tre färgerna.
Varje rak linje målas med exakt två färger.

Detta och några andra egenskaper hos denna färgning leder till en motsägelse med Sperners lemma .

$N$ -Dimensional kub kan delas upp i simpliceringar med samma volym endast om antalet simpliceringar är en multipel av [3] [4] . $N!$
Beviset för satsen innebär också att det finns fyrhörningar som inte kan skäras i trianglar med lika stor yta.
För ett heltal kan en regelbunden -gon skäras i trianglar med lika stor yta om och endast om den är delbar med [5] . $n\geqslant 5$ $n$ $m$ $m$ $n$
Ingen zonogon kan skäras i ett udda antal trianglar med lika stor yta . Detta faktum bevisades av samme Paul Monsky efter huvudsatsen [6] [7] .

↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. En kvadrat och ett udda antal trianglar // Proofs from The Book . — 4:a. - Berlin, 2010. - S. 131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
↑ P. Monsky. On Dividing a Square into Triangles // The American Mathematical Monthly : journal. - 1970. - Vol. 77 , nr. 2 . - S. 161-164 . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233 _
↑ Mead, David G. (september 1979), Dissection of the hypercube into simplexes , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6
↑ Sperners Lemma Arkiverad 19 april 2016 på Wayback Machine , Moor Xu
↑ EA Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volym 4, Issue 4, s 375-381
↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra och plattsättning: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, sid. 130 , ISBN 9780883850282

B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-adiska tal // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .