Zonogon

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 juni 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En zonogon är en centralt symmetrisk konvex polygon .

Motsvarande definitioner

En zonogon är en konvex polygon med ett jämnt antal sidor, som kan delas in i par av lika och parallella . Faktum är att det räcker att kräva sanningen av båda villkoren för alla par av sidor, utom för en - för det kommer villkoret redan att vara en konsekvens, vilket är lätt att bevisa genom induktion på antalet sidor av polygonen. Ett par sidor vars parallellitet och likhet inte postuleras måste dock nödvändigtvis vara desamma för båda villkoren, annars är polygonen inte längre nödvändigtvis en zonogon: ett exempel på en polygon som inte är en zonogon, där de motsatta sidorna av endast ett par är inte parallella och de motsatta sidorna är bara ett par är inte lika, visas i figuren till höger.
En zonogon är en konvex polygon med ett jämnt antal sidor, där alla motsatta sidor och vinklar är lika.
En zonogon är Minkowski summan av ett ändligt antal segment i ett plan. Antalet sidor av den resulterande zonogonen är lika med två gånger antalet segment.
En zonogon är projektionsgränsen för en hyperkub av någon dimension på planet . Denna definition kan erhållas från den föregående, genom att använda det faktum att en hyperkub är Minkowskisumman av dess kanter som kommer ut från en vertex, och det faktum att projektionen av Minkowskisumman av segment (som alla andra uppsättningar) är Minkowskisumman av deras prognoser. För dimensionen av en hyperkub har den resulterande zonogonen exakt sidor i det allmänna fallet och som mest sidor i alla fall. Det är viktigt att en dimensionshyperkub inte behöver projiceras från -dimensionellt rymden på ett plan som finns i detta utrymme: till exempel projicera en kub med en kant från det tredimensionella rymden på ett plan som finns i den, kan man inte få en figur med en diameter mindre än , eftersom detta är diametern på den inskrivna sfären av kuben , vars projektion är en cirkel med diameter och finns inuti projektionen av själva kuben vid någon av dess positioner, men den ortogonala projektionen av en kub av samma storlek med hörn från femdimensionella rymden till ett plan som bildas av alla punkter i formen består av en punkt alls - . Denna förfining påverkar inte bara storleken på de resulterande zonogonerna - vissa zonogoner, upp till likhet , kan endast erhållas genom att projicera en hyperkub på ett plan från ett utrymme med en högre dimension än själva hyperkubens dimension. $n$ $2n$ $2n$ $n$ $n$ $2$ $2$ $2$ $(0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x,y,0,0,0)$ $(0,0,0,0,0)$

Specialfall

Ett parallellogram är en fyrhörning som är en zonogon. I synnerhet zonogonerna är romben , rektangeln och kvadraten .
En vanlig polygon med ett jämnt antal sidor är en zonogon.

Egenskaper

En generalisering av Monskys teorem : ingen zonogon kan skäras i ett udda antal trianglar med lika stor yta . Detta faktum bevisades av samme Paul Monsky efter huvudsatsen [1] [2] .

Det maximala antalet par av hörn som kan vara på samma avstånd i en zonogon med sidor är . Det finns zonogoner med antalet sådana par lika med (se "O" stor och "o" liten ) [3] . $n$ $2n-3$ $2n-O({\sqrt {n)))$

Varje strikt konvex zonogon med sidor kan delas in i parallellogram, och bland dem kommer det alltid att finnas exakt ett parallellogram med samma sidoriktningar för varje par möjliga riktningar för zonogonens sidor [4] . Antalet sådana möjliga partitioner för zonogoner med valfritt antal sidor ges av sekvensen A006245 i OEIS . $2n$ ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$

För varje uppdelning av en godtycklig zonogon i parallellogram (i valfritt antal av dem), finns det minst tre zonogon-hörn, som var och en tillhör endast ett av parallellogrammen [5] .

Sätt att minska antalet sidor

Dessa metoder kan användas i induktion på antalet sidor av zonogonen för att bevisa ovanstående ekvivalenta definitioner och egenskaper.

Vertices beskärning - med hjälp av det, till exempel, är det lätt att bevisa motsvarigheten av huvuddefinitionen till den andra definitionen från avsnittet med motsvarande definitioner.
Klippning av remsor av parallellogram - bland annat kan det användas för att bevisa egenskaperna ovan, relaterade till uppdelningen av zonogoner i parallellogram helt.

Kakla planet med zonogoner

Alla zonogoner med fler än fyra hörn i plattorna nedan kan delas upp i zonogoner med färre hörn genom att skära av parallellogramskikten som visas i en av figurerna ovan. Dessa parallellogram kan också tas bort från plattsättningen, vilket kommer att vara liktydigt med att "kollapsa" zonogonerna i någon riktning.

Plattläggning med en typ av zonogoner

Fyrkanter och hexagoner , som är zonogoner, är också parallellagoner och tillåter plattsättning av planet med sina egna kopior, erhållna endast med hjälp av parallellöversättning .

Kakla planet med en typ av zonogoner
Kakelsättning med fyrkantiga zonogoner	Kakelsättning med sexkantiga zonogoner

Plattläggning med två typer av zonogoner

Dessa plattsättningar är ett slags trunkering av plattsättningen av planet med parallellogram (fyrkantiga zonogoner) längs kanterna respektive längs hörnen.

Kakla planet med två typer av zonogoner
Kakelsättning med fyrkantiga och sexkantiga zonogoner	Tessellation med fyrkantiga och åttakantiga zonogoner

Några andra tesselleringar

Plattläggning av ett plan av flera typer av zonogoner, inklusive åttkantiga sådana som erhållits från plattsättningar av ett plan av en typ av zonogoner
Tessellation med fyrkantiga och åttakantiga zonogoner	Plattläggning med fyrkantiga, sexkantiga och åttakantiga zonogoner
Ramar

Tesselleringar

I det allmänna fallet definierar en åttakantig zonogon två liknande plattsättningar.	I det allmänna fallet definierar en åttakantig zonogon fyra sådana plattsättningar.

Plattläggning av planet med fyrkantiga, hexagonala och åttakantiga zonogoner erhållna från plattsättningarna i föregående tabell
En plattsättning erhållen från en plattsättning med fyrkantiga och åttakantiga zonogoner	En plattsättning som erhålls från en plattsättning med fyrkantiga, hexagonala och åttkantiga zonogoner
Ramar

Tesselleringar

I det allmänna fallet definierar en oktagonal zonogon fyra liknande plattsättningar (det finns två sätt att koppla ihop själva oktagonerna, och på ytterligare två sätt, för varje plats för oktagonerna, gruppera de återstående delarna av planet i fyrkanter och hexagoner).	I det allmänna fallet definierar en åttakantig zonogon fyra liknande plattsättningar, som i fallet till vänster. I denna plattsättning, till skillnad från den till vänster, sammanfaller fyrkanterna som är involverade i att fylla hål i "ringarna" av åtta oktagoner med att fyrkanterna fyller hål i "ringarna" av fyra oktagoner - detta faktum illustrerar möjligheten att dubbelfylla "ringarna" " av åtta oktagoner (i den andra versionen skulle deras fyrkanter sammanfalla med fyrkanterna från "ringarna" av sex oktagoner).

Några sätt att "skjuta isär" tesselleringar

Plattorna kan "spridas isär" längs de periodiska snitten mellan polygonerna, och de resulterande luckorna kan fyllas med ränderna som visas nedan. I den första tabellen i föregående avsnitt erhölls den högra plattsättningen från den vänstra med hjälp av

Metoder med enhetlig växling av sidor
Period 1
Period 2
Period 3
Period 4		Med denna remsa kan den vänstra plattsättningen från det första bordet i föregående avsnitt förvandlas till en höger plattsättning av samma bord.

Sätt med parter som träffas vid olika frekvenser
Period 4		På gränsen till en given remsa förekommer en typ av sida dubbelt så ofta som någon av de andra två.

Generaliseringar

En zonohedron (zonotop) är en polyhedron , som är en generalisering av en zonogon för tredimensionellt utrymme och utrymmen av högre dimension . Ibland betyder en zonoeder bara en tredimensionell polyeder, och en zonotop är en polyeder av godtycklig dimension.
Man kan betrakta en centralt symmetrisk polygon som inte är konvex eller ens icke-självskärande. I det här fallet kommer endast de två första definitionerna från avsnittet "Ekvivalenta definitioner" att vara sanna för det, med konvexitetskraven borttagna i enlighet därmed. På sätt och vis tillåter sådana polygoner med få sidor fortfarande plana tesselleringar.

Anteckningar

↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra och plattsättning: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, sid. 130 , ISBN 9780883850282
↑ Young, John Wesley & Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry , H. Holt, sid. 121 , < https://books.google.com/books?id=PzEAAAAAYAAJ&pg=PA121 > Arkiverad 18 mars 2022 på Wayback Machine
↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting , Springer, sid. 28, ISBN 9783319107417 , < https://books.google.com/books?id=4fawBAAAQBAJ&pg=PA28 > Arkiverad 18 mars 2022 på Wayback Machine
↑ Andreescu, Titu & Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World , Cambridge University Press, sid. 125, ISBN 9780883858035 , < https://books.google.com/books?id=T0CnqnoKu6QC&pg=PA125 > Arkiverad 18 mars 2022 på Wayback Machine