P-adic nummer

p -adiskt tal [1] är ett talteoretiskt begrepp som definieras för ett givet fast primtal p som ett element i utvidgningen av fältet för rationella tal . Denna förlängning är fullbordandet av fältet för rationella tal med avseende på den p -adiska normen , definierad på basis av delbarhetsegenskaperna förheltal med p .

p -adic-tal introducerades av Kurt Hansel 1897 [ 2] .

Fältet p -adic-nummer betecknas vanligtvis med eller . $\mathbb Q_p$ ${\mathbf Q}_{p}$

Algebraisk konstruktion

Heltal p -adiska tal

Standarddefinition

Ett heltal p - adic tal för ett givet primtal p är [3] en oändlig sekvens av rester modulo , som uppfyller villkoret: $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ $x_{n}$ $p^{{n}}$

x_{n}\equiv x_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}.

Addition och multiplikation av heltals p -adiska tal definieras som termvis addition och multiplikation av sådana sekvenser. För dem kan alla axiom i ringen verifieras direkt . Ringen av heltals p -adiska tal betecknas vanligtvis . $\mathbb {Z} _{p}$

Definition i termer av den projektiva gränsen

När det gäller projektiva gränser definieras ringen av heltals -adiska tal som gränsen $sid$

\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}

rester ringar modulo naturliga projektioner . $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ $p^{n}$ $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

Dessa överväganden kan utföras i fallet med inte bara ett primtal , utan också vilket sammansatt tal - du får det så kallade. ring av -adiska tal, men denna ring har i motsats till nolldelare , så de ytterligare konstruktionerna nedan är inte tillämpliga på den. $sid$ $m$ $m$ $\mathbb {Z} _{p}$

Egenskaper

Vanliga heltal bäddas in på det uppenbara sättet: och är en subring. $\mathbb {Z} _{p}$ $x=\{x,x,\ldots\}$

Om vi tar ett tal som ett element i restklassen (alltså, ), kan vi skriva varje heltal p -adic tal i formen på ett unikt sätt. En sådan representation kallas kanonisk . Att skriva var och en i det p -ary talsystemet och, med tanke på det , är det möjligt att representera vilket p -adic tal i den kanoniska formen som eller skriva som en oändlig sekvens av siffror i det p -ary talsystemet . Operationer på sådana sekvenser utförs enligt de vanliga reglerna för addition, subtraktion och multiplikation med en "kolumn" i p -ary talsystemet. $a_{n}=x_{n}\,{\bmod \,}{p^{n}}$ $0\leq a_{n}<p^{n}$ $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ $en$ $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ $a_{n}\equiv a_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}$ $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}$ $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$

I denna notation motsvarar naturliga tal och noll p -adiska tal med ett ändligt antal siffror som inte är noll som sammanfaller med siffrorna i det ursprungliga talet. Negativa tal motsvarar p -adiska tal med ett oändligt antal siffror som inte är noll, till exempel i det quinära systemet −1=...4444=(4).

p -adic nummer

Definition som privata fält

Ett p -adiskt tal är ett element i fältet av kvotienter för ringen av heltals p -adiska tal. Detta fält kallas fältet för p -adiska tal. ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$

Egenskaper

Fältet för p -adiska tal innehåller fältet för rationella tal .

Det är lätt att bevisa att alla p -adic heltal inte en multipel av p är inverterbar i ringen , och en multipel av p är unikt skriven som , där x inte är en multipel av p och därför är inverterbar, men . Därför kan alla element som inte är noll i fältet skrivas som , där x inte är en multipel av p , utan vilket n som helst ; om n är negativ, så kan vi, baserat på representationen av heltal p -adiska tal som en sekvens av siffror i det p -ary talsystemet, skriva ett sådant p -adiskt tal som en sekvens , det vill säga formellt representera det som en p - bråkdel med ett ändligt antal siffror efter decimalkomma, och möjligen ett oändligt antal icke-noll siffror före decimalkomma. Uppdelningen av sådana tal kan också göras på samma sätt som "skola"-regeln, men börjar med de lägre snarare än högre siffrorna i talet. $\mathbb {Z} _{p}$ $xp^{n}$ $n>0$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $xp^{n}$ $x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{{-1}}\ldots b_{{n+1}}\}$

Metrisk konstruktion

Alla rationella tal kan representeras som var och är heltal som inte är delbara med , utan är ett heltal. Då definieras -adic- normen som . Om , då . $r$ $r=p^{n}{\frac ab}$ $a$ $b$ $sid$ $n$ $|r|_{p}$ $sid$ $r$ $p^{{-n}}$ $r=0$ $|r|_{p}=0$

Fältet för -adic-tal är kompletteringen av fältet för rationella tal med metriken som definieras av -adic-normen: . Denna konstruktion liknar konstruktionen av fältet för reella tal som en komplettering av fältet för rationella tal med hjälp av normen, som är det vanliga absoluta värdet . $sid$ $d_{p}$ $sid$ $d_{p}(x,y)=|xy|_{p}$

Normen sträcker sig genom kontinuitet till normen på . $|r|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Egenskaper

Varje element x i fältet av p -adiska tal kan representeras som en konvergent serie

x=\summa _{{i=n_{0}}}^{\infty }a_{i}p^{i}

där är något heltal och är icke-negativa heltal som inte överstiger . Siffrorna från posten x i talsystemet med bas p fungerar nämligen som här . En sådan summa konvergerar alltid i måtten till sig själv .

n_{0}

a_{i}

p-1

a_{i}

d_{p}

x

p -adisk norm tillfredsställer den starka triangelolikheten $|x|_{p}$

|xz|_{p}\leq \max\{|xy|_{p},|yz|_{p}\}.

Tal med villkoret bildar en ring av heltals p -adiska tal, vilket är fullbordandet av ringen av heltal i normen . $x\in {\mathbb Q}_{p}$ $|x|_{p}\leq 1$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ $|x|_{p}$
Tal med ett villkor bildar en multiplikativ grupp och kallas p - adic-enheter. $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}=1$
Uppsättningen av tal med villkoret är det huvudsakliga idealet med det genererande elementet p . $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}<1$ $\mathbb {Z} _{p}$

Ett metriskt utrymme är homeomorft till en Cantor-uppsättning och ett mellanslag är homeomorft till en Cantor-utskärningsuppsättning. $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$
För olika p är normerna oberoende, och fälten är inte isomorfa. $|x|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$
För alla element , , , , ... som och , kan man hitta en sekvens av rationella tal så att och för vilket p som helst . $r_{\infty }$ $r_{2}$ $r_3$ $r_{5}$ $r_{7}$ $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p))$ $x_{n}$ $|x_{i}-r_{p}|_{p}\till 0$ $|x_{i}-r_{\infty }|\till 0$

Applikationer

Om är ett polynom med heltalskoefficienter, då är lösbarheten för alla jämförelser $F(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $k$

F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

är ekvivalent med ekvationens lösbarhet

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0

i heltal -adiska tal. En nödvändig förutsättning för lösbarheten av denna ekvation i heltal eller rationella tal är dess lösbarhet i ringar respektive fält av -adiska tal för alla , såväl som i fältet reella tal. För vissa klasser av polynom (till exempel för kvadratiska former) är detta villkor också tillräckligt.

sid

sid

sid

I praktiken, för att kontrollera lösbarheten av en ekvation i heltal -adiska tal, räcker det att kontrollera lösbarheten av den angivna jämförelsen för ett visst ändligt antal värden . Till exempel, enligt Hans lemma , om ett tillräckligt villkor för avgörbarheten av jämförelse för alla naturliga tal är närvaron av en enkel lösning för jämförelsen modulo (det vill säga en enkel rot för motsvarande ekvation i området för rester modulo ) . Med andra ord, för att kontrollera om ekvationen har en rot i heltals -adiska tal, är det vanligtvis tillräckligt att lösa motsvarande jämförelse för .

sid

k

n=1

k

sid

sid

n=1

sid

k=1

$sid$ -adic-tal används i stor utsträckning inom teoretisk fysik [4] . Kända är -adic generaliserade funktioner [5] , p-adisk analog av differentieringsoperator (Vladimirov-operator) [6] , p-adisk kvantmekanik [7] [8] , p-adisk spektralteori [9] , p-adisk sträng teori [10] [11] $sid$

Se även

Anteckningar

↑ Uttalad: pa-adic ; respektive: två-adic , tri-adic , etc.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1897. - V. 6 , nr 3 . - S. 83-88 . (Tysk)
↑ Borevich Z. I., Shafarevich I. R. Talteori, 1985 , sid. 25-28..
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV, Zelenov EI P-adisk analys och matematisk fysik // Singapure: World Sci., 1993
↑ Vladimirov V. S. "Generaliserade funktioner över fältet p-adiska tal" // Uspekhi Mat . Nauk , 1988, vol. 43 (5), s. 17-53
↑ Vladimirov V.S. Om spektrala egenskaper hos p-adiska pseudodifferentiella operatorer av Schrödinger-typ // Izv. RAS, Ser. mat., 1992, v. 56, sid. 770-789
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adisk kvantmekanik // Commun. Matematik. Phys., 1989, vol. 123, sid. 659-676
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adic Schrodinger-typ ekvation // Lett. Matematik. Phys., 1989, vol. 18, sid. 43-53
↑ Vladimirov V.S. , Volovich I.V., Zelenov E.I. Spektralteori i p-adisk kvantmekanik och representationsteori // Izv. USSR Academy of Sciences, vol. 54 (2), sid. 275-302, (1990)
↑ Volovich IV P-adisk sträng // Klass. kvant. Grav., 1987, vol. 4, P.L83-L84
↑ Frampton PH Retrospective on p-adic string theory // Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. Samling, nr 203 - M .: Nauka, 1994. - isbn 5-02-007023-8 - S. 287-291.

Litteratur

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori. — M .: Nauka, 1985.
Koblitz N. p-adiska tal, p-adisk analys och zetafunktioner, - M . : Mir, 1982.
Serre J.-P. Aritmetikkurs, - M . : Mir, 1972.
Bekker B., Vostokov S., Ionin Yu. 2-adiska nummer // Kvant . - 1979. - Nr 2 . - S. 26-31 .
Konrad K. Introduktion till p-adiska tal Sommarskola "Modern Mathematics", 2014 Dubna

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion