Hastighetsadditionsteorem

Satsen om addition av hastigheter är en av kinematikens satser , den kopplar samman hastigheterna för en materialpunkt i olika referensramar . Påstår att med en komplex rörelse av en materialpunkt är dess absoluta hastighet lika med summan av de relativa och translationella hastigheterna [1] [2] .

Sammansatt rörelse

Rörelse inom mekanik betraktas alltid i relation till någon referensram (FR). Men i vissa fall är det ändamålsenligt eller till och med nödvändigt att studera rörelsen av en materialpunkt (MT) relativt två olika referenssystem samtidigt. En av dessa referensramar anses villkorligt vara orörlig, grundläggande och den andra anses röra sig i förhållande till den första. Då kan en punkts rörelse anses bestå av två rörelser: den första är rörelsen i förhållande till den rörliga referensramen, den andra är rörelsen tillsammans med den rörliga ramen i förhållande till den stationära. En sådan rörelse av en punkt kallas komplex eller sammansatt .

Definitioner

En villkorligt fast referensram brukar kallas absolut . Följaktligen kallas rörelsen, förskjutningen , hastigheten och accelerationen av en punkt i förhållande till denna CO absoluta. I figuren är referenssystemet K valt som absolut.

En villkorligt rörlig referensram brukar kallas relativ . Rörelse, förskjutning, hastighet och acceleration av en punkt i förhållande till detta system kallas också relativ. Systemet K' i figuren är relativt.

Rörelsen som utförs av det mobila systemet K' och alla punkter i rymden som är stelt förbundna med det [3] i förhållande till systemet K kallas portabel . Om någon MT rör sig i förhållande till det mobila systemet K', så rör sig i det allmänna fallet den punkten i systemet K', i vilken MT:n för närvarande är belägen, också i förhållande till det stationära systemet K. Den momentana hastigheten för denna punkt på system K' kallas den bärbara hastigheten för MT.

Bevis

Låt MT vid någon tidpunkt vara vid punkt A, och efter en tidsperiod vara vid punkt B (se fig.). Då kommer dess förskjutning i förhållande till systemet K (absolut förskjutning) att vara lika med . Punkt A i mobilsystemet K' rörde sig tillsammans med K' i tiden och hamnade i punkt C, efter att ha rört sig i förhållande till systemet K (translationsrörelse), visad i figuren med vektorn . Ur en observatörs synvinkel associerad med systemet K' är punkt C punkten där MT:n ursprungligen var belägen, så vektorn representerar MT:s rörelse i förhållande till mobilsystemet K', det vill säga den relativa rörelsen . Av det sagda och vektordiagrammet i figuren följer $\Delta t$ ${\vec {S}}_{a}$ ${\displaystyle}$ ${\vec {S}}_{e}$ ${\vec {S}}_{r}$

{\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.

Dela denna likhet med tidsintervallet och sedan tendera den till noll, i den gräns vi får $\Delta t$

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},

där är det absoluta, är det bildliga och är den relativa hastigheten för MT:s rörelse. ${\vec {v}}_{a}$ ${\vec {v}}_{e}$ ${\vec v}_{r}$

Den resulterande jämlikheten är ett matematiskt uttryck för satsen om tillägg av hastigheter, som är formulerad enligt följande:

Hastighetsadditionssatsen kallas även hastighetsparallellogramregeln [4] .

Diskussion

I det allmänna fallet kan rörelsen hos systemet K' representeras som summan av två rörelser: translationsrörelse med en hastighet lika med hastigheten för systemets K's ursprung, och rotationsrörelse runt den momentana axeln som passerar genom detta ursprung. Det kan visas att translationshastigheten , hastigheten för koordinaternas ursprung och vinkelhastigheten för systemets rotationsrörelse hänger samman med relationen [5] ${\vec {v}}_{e}$ $\vec v_0$ ${\vec {\omega ))$

{\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].

Med hänsyn till denna jämlikhet tar det matematiska uttrycket av satsen formen

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\ vec{v}}_{r}.

Påståendet om satsen, bevisat för två referensramar, kan lätt generaliseras till fallet med ett godtyckligt antal av dem. Låt oss verkligen anta att systemet K, som vi hittills har ansett vara orörligt, rör sig i förhållande till något tredje system. Sedan för den absoluta hastigheten för MT i detta system, i kraft av den bevisade satsen, ${\displaystyle {\vec {v'_{a))))$

{\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{ r},

var är den bärbara hastigheten för punkten i systemet K, i vilken MT befinner sig vid ett givet ögonblick, vars rörelse vi studerar. Uppenbarligen, genom att resonera på ett liknande sätt, kan man få en formel för att addera hastigheter som är lämpliga för valfritt antal referensramar. ${\displaystyle {\vec {v'_{e))))$

Påståendet om hastighetsadditionsteoremet är endast giltigt så länge som hastigheterna som avses i satsen är mycket mindre än ljusets hastighet . Annars bör den relativistiska hastighetsadditionsformeln användas .

Anmärkning . Radievektorn MT i referensramen K kan alltid representeras som summan av två vektorer: $r(t)$

{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r′}}(t),

där är radievektorn för origo för det rörliga koordinatsystemet, och är radievektorn för MT i den rörliga ramen K'. Efter differentiering innebär jämlikheten ${\vec {R}}(t)$ ${\vec {r'}}(t)$

{\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}( t)}{dt}}.

Det resulterande förhållandet är giltigt för alla MT och för vilket ögonblick som helst. Man bör dock komma ihåg att i det allmänna fallet är summans första term inte lika med överföringshastigheten och den andra är inte lika med den relativa hastigheten. I själva verket är hastigheten för ursprunget för koordinatsystemet K' och, i närvaro av rotation av systemet, sammanfaller K' inte med hastigheten för den punkt i systemet där MT för närvarande är belägen. I sin tur representerar den hastigheten på MT i förhållande till koordinaternas ursprung , det vill säga den definieras annorlunda än den relativa hastigheten . Likheter och uppfylls endast i de fall då systemet K' rör sig progressivt, det vill säga när det inte gör svängar ( ) och alla dess punkter rör sig på samma sätt [6] . ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}$ $\vec v_0$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}$ ${\vec {v}}_{r}$ ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}$ ${\vec {\omega }}=0$

Exempel

I referensramen kopplad till jorden kan hastigheten för en passagerare [7] som går längs vagnskorridoren betraktas som en kombination av två hastigheter. Den första av dessa är den hastighet med vilken den punkt av bilen rör sig där passageraren för närvarande befinner sig - överföringshastigheten, det vill säga den hastighet med vilken bilen "bär" passageraren. Den andra termen är passagerarens hastighet i förhållande till bilen. Om bilen rör sig längs en rundning av banan, ändras riktningen för passagerarens absoluta hastighet på grund av en förändring i den bärbara hastigheten.
Den absoluta hastigheten för en fluga [8] , som kryper längs en roterande grammofonskiva , är lika med den geometriska summan av hastigheten för dess rörelse i förhållande till skivan och hastigheten som plattans punkt under flugan har i förhållande till jorden - översättningshastigheten.
Rörelsen av en hjulspets (cirkel) som rullar på en horisontell yta utan att glida kan betraktas som en komplex rörelse som består av rörelsen av hjulet som helhet med hastighet och rotationen av hjulets punkter runt dess axel med vinkelhastighet . Sedan, i enlighet med hastighetsadditionssatsen, kan projektionerna av hjulpunktens absoluta hastighet på de horisontella och vertikala axlarna skrivas som $v$ $\omega$

v_{x}=vv\cos \omega t

v_{y}=v\sin \omega t,

var är hjulets radie. Efter integration och med hänsyn till dessa ekvationer, följer det:

R

v=\omega R

x=\omega Rt-R\sin \omega t

y=RR\cos \omega t.

De resulterande ekvationerna är parametriska ekvationer för cykloiden , respektive hjulpunktens bana är cykloiden.

Anteckningar

↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - M . : Högre skola, 1995. - S. 156-158. — 416 sid. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Buchholz N. N. Den teoretiska mekanikens huvudkurs / Sjätte upplagan, reviderad och kompletterad av S. M. Targ. - M . : "Nauka" , 1965. - T. 1. - S. 88-90.
↑ Det vill säga punkter fixerade med avseende på systemet K'.
↑ Kilchevsky N. A. Kurs i teoretisk mekanik. - M . : "Nauka", 1977. - T. I. - S. 144.
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanics. - S. 362. - 560 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Golubev Yu. F. Grunderna i teoretisk mekanik. - M. : MGU, 2000. - S. 119. - 720 sid. — ISBN 5-211-04244-1 .
↑ I det här fallet är det absolut hastighet.
↑ Hastighet i förhållande till jorden.