Trigonometriska Fourier-transformers

Sinus-Fourier-transformen och cosinus-Fourier-transformen är några typer av Fourier-transformer som inte använder komplexa tal .

Definition

Sinus Fourier transform eller funktioner lika ${\hat {f}}^{s}$ ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ $med)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.

, var

t

— tid, — svängningsfrekvens.

\nu

Funktionen är udda i , dvs. ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ $\nu$

{\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )

för någon .

\nu

Cosinus Fourier transform eller funktioner lika ${\hat {f}}^{c}$ ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ $med)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.

var

t

— tid, — svängningsfrekvens.

\nu

Funktionen är även i , det vill säga för alla . ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ $\nu$ ${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ $\nu$

Den ursprungliga funktionen kan hittas av formeln $med)$

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f))^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0} ^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .

Genom att använda additionsformeln för cosinus får vi det

{\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty }\cos \omega (tx)f(t)dtd\omega ,

, var

f(x+0)

f(x-0)

Om funktionen är jämn försvinner den del av formeln med sinus, om den är udda försvinner cosinus. $med)$ $med)$

Idag används oftare formeln för sinus- och cosinus Fourier-transformerna i komplex form

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\ ,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt -i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu).

Whittaker, Edmund och James Watson, A Course in Modern Analysis , fjärde upplagan, Cambridge Univ. Press, 1927, s. 189, 211