Förkortande tråd

Ett förkortningsflöde är en process som ändrar en jämn kurva på ett plan genom att flytta dess punkter vinkelrätt mot kurvan med en hastighet lika med dess krökning .

Förkortningsflödet studeras huvudsakligen som det enklaste exemplet på ett geometriskt flöde , i synnerhet låter det dig räkna ut tekniken för att arbeta med ett Ricci-flöde och med ett flöde av genomsnittlig krökning .

Ekvation

En enparameterfamilj av kurvor är en lösning på ett förkortande flöde om vi för något värde av parametern har ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

var är krökningen med kurvans tecken vid punkten och är enhetens normalvektor till kurvan i punkten . $\kappa _{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$

Egenskaper

Om den initiala kurvan är enkel och stängd, förblir den så under inverkan av förkortningsflödet.
För en enkel sluten kurva definieras förkortningsflödet på maxintervallet . $\gamma _{0}$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $t\in [0,T)$
- Vid kollapsar kurvan till en punkt. $t\to T$ ${\displaystyle \gamma _{t))$
Arean som begränsas av kurvan minskar med konstant hastighet. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- I synnerhet bestäms ögonblicket för kollaps till en punkt helt av området som begränsas av kurvan: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Om den ursprungliga kurvan inte är konvex, minskar dess maximala absoluta krökning monotont tills den blir konvex.
För en konvex kurva minskar det isoperimetriska förhållandet , och innan kurvan försvinner vid singularitetspunkten tenderar kurvan till en cirkel i form. [ett]
Två icke-korsande enkla jämna slutna kurvor förblir icke-korsande tills en av dem kollapsar till en punkt.
Cirkeln är den enda enkla slutna kurvan som behåller sin form i flödet.
- Vissa självkorsande kurvor , såväl som kurvor av oändlig längd, behåller sin form.

Applikationer

Ett förkortande flöde på en sfär ger ett av bevisen på Arnolds problem om förekomsten av minst fyra inflexionspunkter för varje jämn kurva som skär en sfär i skivor med lika stor yta. [2]

Anteckningar

↑ Gage, ME (1984), "Curve shortening makes convex curves circular", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. "Böjningspunkter, extatiska punkter och kurvförkortning." Hamiltonska system med tre eller fler frihetsgrader. Springer Nederländerna, 1999. 3-10.