Ultralimit

En ultragräns är en konstruktion som gör att man kan definiera en gräns för en bred klass av matematiska objekt. I synnerhet fungerar den för sekvenser av tal och sekvenser av punkter i ett metriskt utrymme, och tillåter generaliseringar till sekvenser av metriska utrymmen och sekvenser av funktioner på dem.

Denna konstruktion används ofta för att undvika att hoppa till en efterföljd flera gånger.

Denna konstruktion använder existensen av ett icke -principiellt ultrafilter , vars bevis i sin tur använder valets axiom .

Icke-principiellt ultrafilter

Kom ihåg att ett ultrafilter på uppsättningen av naturliga tal är en uppsättning delmängder av uppsättningen , som är stängd under driften av skärning och övergång till en supermängd, och för varje delmängd innehåller den antingen , eller komplement . $\omega$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $X\subset \mathbb {N}$ $X$ $\mathbb {N} \backslash X$

Ett ultrafilter kallas icke-principal om det inte innehåller ändliga mängder.

Definitioner

Nästa är ett icke-principiellt ultrafilter på uppsättningen naturliga tal . $\omega$ $\mathbb {N}$

Ultragräns av poäng

If är en sekvens av punkter i ett metriskt utrymme , då kallas punkten -limit , om för varje delmängd ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} ))$ $M$ $x_{\omega }\in M$ $\omega$ $(x_{n})$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\))

som finns i . $\omega$

I det här fallet skriver de och betecknas med eller med . ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))$ ${\displaystyle x_{n}\to x_{\omega ))$ $n\to \omega$

Ultralimit of spaces

Låta vara en sekvens av metriska utrymmen . Överväg alla möjliga sekvenser av punkter . För två sådana sekvenser definierar vi avståndet som $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $x_{n}\in M_{n}$

|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n)).

Funktionen är en pseudometrisk med värden i . Det motsvarande -metriska utrymmet kallas sekvensens -limit . $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ $[0,\infty ]$ $\infty$ ${\displaystyle M_{\omega ))$ $\omega$ $M_{n}$

I det här fallet skriver de och betecknas med eller med . ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n))$ ${\displaystyle M_{n}\to M_{\omega ))$ $n\to \omega$

Ultrapower

Ultragränsen för en konstant sekvens av metriska utrymmen för ett ultrafilter kallas också en ultragrad, -grad, ultrakomplettering eller -komplettering. Vanligtvis betecknas -graden med . $M_{n}=M$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $M$ ${\displaystyle M^{\omega ))$

${\displaystyle M^{\omega ))$ sammanfaller med endast om är kompakt. $M$ $M$

Egenskaper

Om -gränsen för en sekvens av punkter finns, så är den unik. $\omega$
Om det metriska utrymmet är kompakt, existerar -gränsen för valfri sekvens av punkter och är unik. $\omega$
- I synnerhet har alla avgränsade sekvenser av reella tal en väldefinierad -gräns i . $\omega$ $\mathbb {R}$
$\omega$ -gränsen för en sekvens är dess privata gräns .
- I synnerhet om , då i standardbemärkelse . ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n))$ ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n))$
Sekvensens ultragräns kan skilja sig från undersekvensens ultragräns.
Jämlikhet $f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})$

gäller för en godtycklig kontinuerlig funktion definierad vid punkten .

f

{\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))

Särskilt: $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega } y_{n}$ $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n \to \omega }y_{n})$

Se även

Ultrafilter