En ultragräns är en konstruktion som gör att man kan definiera en gräns för en bred klass av matematiska objekt. I synnerhet fungerar den för sekvenser av tal och sekvenser av punkter i ett metriskt utrymme, och tillåter generaliseringar till sekvenser av metriska utrymmen och sekvenser av funktioner på dem.
Denna konstruktion används ofta för att undvika att hoppa till en efterföljd flera gånger.
Denna konstruktion använder existensen av ett icke -principiellt ultrafilter , vars bevis i sin tur använder valets axiom .
Kom ihåg att ett ultrafilter på uppsättningen av naturliga tal är en uppsättning delmängder av uppsättningen , som är stängd under driften av skärning och övergång till en supermängd, och för varje delmängd innehåller den antingen , eller komplement .
Ett ultrafilter kallas icke-principal om det inte innehåller ändliga mängder.
Nästa är ett icke-principiellt ultrafilter på uppsättningen naturliga tal .
If är en sekvens av punkter i ett metriskt utrymme , då kallas punkten -limit , om för varje delmängd
som finns i .
I det här fallet skriver de och betecknas med eller med .
Låta vara en sekvens av metriska utrymmen . Överväg alla möjliga sekvenser av punkter . För två sådana sekvenser definierar vi avståndet som
Funktionen är en pseudometrisk med värden i . Det motsvarande -metriska utrymmet kallas sekvensens -limit .
I det här fallet skriver de och betecknas med eller med .
Ultragränsen för en konstant sekvens av metriska utrymmen för ett ultrafilter kallas också en ultragrad, -grad, ultrakomplettering eller -komplettering. Vanligtvis betecknas -graden med .
sammanfaller med endast om är kompakt.