Carathéodorisk ekvation

Carathéodory-ekvationen (uppkallad efter den tyske matematikern av grekiskt ursprung Constantine Carathéodory ) är en vanlig differentialekvation

{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in \mathbb {R } ^{n},\ n\geqslant 1,\quad(*)

där den högra sidan (det vill säga komponenterna i vektorfunktionen ) inte uppfyller det klassiska villkoret som säkerställer existensen och unikheten av en lösning med ett givet initialvärde (kontinuitet i uppsättningen av argument och Lipschitz-villkoret i ), men något mycket svagare tillstånd som kallas Carathéodory tillstånd : $f$ $x$

vektorfunktionen är definierad och kontinuerlig med avseende på nästan alla (i betydelsen av Lebesgue-måttet ) i en region av rymden . $f$ $x$ $t$ $D$ $(t,\;x)$
vektorfunktionen är mätbar med avseende på för var och en i domänen . $f$ $t$ $x$ $D$
för varje avgränsat intervall av axeln i regionen , håller olikheten var är den summerbara (det vill säga Lebesgue-integrerbara ) funktionen. $t$ $D$ $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ $m(t)$

En lösning av Carathéodory-ekvationen (*) med ett initialvillkor är en mätbar vektorfunktion som uppfyller integralekvationen $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t),$

x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad ( **)

Integralen i (**) förstås i betydelsen Lebesgue-integralen för varje komponent i vektorfunktionen . Definitionens riktighet är baserad på det faktum att sammansättningen av en mätbar funktion och en funktion som uppfyller Carathéodory-villkoret är en integrerbar funktion av variabeln $f$ $x(t)$ $f(t,\;x)$ $t.$

Carathéodorys ekvationer hittar tillämpningar inom olika områden av matematiken. Dessutom har de många av de egenskaper som finns i klassiska ekvationer med en kontinuerlig höger sida.

Teorem om existens och unikhet

Låt oss anta att det karathéodoriska villkoret är uppfyllt i regionen , då existerar det så att ekvationen (*) med det initiala villkoret har en lösning på intervallet . Alla tal som uppfyller villkoren kan tas som ${\displaystyle D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\))$ $a,\;b>0,$ $\delta>0,$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)$ $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ $\delta$

0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta )\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0))^{ t}m(\tau )\,d\tau .

Om det finns en integrerbar funktion så att ojämlikheten $l(t),$

|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|xy|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\ ;y)\i D,

eller ojämlikhet

(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (xy)\leqslant l(t)|xy|^{2},\quad \forall (t,\; x),\;(t,\;y)\i D,

där i fall punkten betyder skalärprodukten , så har ekvationen (*) med initialvillkoret i domänen högst en lösning. $n>1$ $x(t_{0})=x_{0}$ $D$

Litteratur

Filippov AF Differentialekvationer med en diskontinuerlig högersida. - Moskva: Nauka, 1985.

Länkar

Akhmerov R. R. Uppsatser om teorin om vanliga differentialekvationer