Carathéodory-ekvationen (uppkallad efter den tyske matematikern av grekiskt ursprung Constantine Carathéodory ) är en vanlig differentialekvation
där den högra sidan (det vill säga komponenterna i vektorfunktionen ) inte uppfyller det klassiska villkoret som säkerställer existensen och unikheten av en lösning med ett givet initialvärde (kontinuitet i uppsättningen av argument och Lipschitz-villkoret i ), men något mycket svagare tillstånd som kallas Carathéodory tillstånd :
En lösning av Carathéodory-ekvationen (*) med ett initialvillkor är en mätbar vektorfunktion som uppfyller integralekvationen
Integralen i (**) förstås i betydelsen Lebesgue-integralen för varje komponent i vektorfunktionen . Definitionens riktighet är baserad på det faktum att sammansättningen av en mätbar funktion och en funktion som uppfyller Carathéodory-villkoret är en integrerbar funktion av variabeln
Carathéodorys ekvationer hittar tillämpningar inom olika områden av matematiken. Dessutom har de många av de egenskaper som finns i klassiska ekvationer med en kontinuerlig höger sida.
eller ojämlikhet
där i fall punkten betyder skalärprodukten , så har ekvationen (*) med initialvillkoret i domänen högst en lösning.