Smith-numret är ett sådant sammansatt nummer , vars summa av siffrorna (i något talsystem , vanligtvis i decimaltal ) är lika med summan av siffrorna av alla dess primtalsfaktorer , med hänsyn till multipliciteten. Så, ett exempel på ett Smith-tal är 202 = 2 × 101, eftersom 2 + 0 + 2 = 4 och 2 + 1 + 0 + 1 = 4 .
De första femtio Smith-numren är [1] :
4 . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 52 , 52 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985 , 1086. 1111 , 1165 , …År 1987 bevisade den amerikanske matematikern Wayne McDaniel att det finns oändligt många Smith-tal. Antalet Smith-tal mindre än 10 n för n =1,2,... är [2] :
1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, …Begreppet Smith-tal introducerades av Albert Wilansky från Lehigh University 1982 . När han tittade igenom sin telefonbok märkte matematikern att telefonnumret till hans svärson Harold Smith (493-7775) hade den intressanta egenskapen att summan av dess siffror var lika med summan av siffrorna för alla dess primtalsfaktorer . Talet 4 937 775 delas upp i primtalsfaktorer enligt följande: 4 937 775 = 3 × 5 × 5 × 65 837. Summan av siffrorna i telefonnumret är 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42 , och summan av siffrorna till primtalsfaktorer är också lika med 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42 . Wilanski döpte denna typ av nummer efter sin svåger. Eftersom alla primtal har denna egenskap inkluderade inte Wilanski dem i definitionen.
Det största kända Smith-numret (från och med 2005 ) är
9 R 1031 (10 4594 +3 10 2297 +1) 1476 10 3913210 ,där R 1031 = (10 1031 −1)/9 är en återenhet .
Två naturliga tal i följd som är Smith-tal (som 728 och 729, 2964 och 2965) kallas Smith-tvillingar . Det är för närvarande okänt om antalet Smith-tvillingar är oändligt. Smith-trippel, fyrdubbel, etc. definieras på liknande sätt. Det initiala elementet för den minsta n Smith för n =1,2,... är [3] :
4, 728, 73,615, 4,463,535, 15,966,114, 2,050,918,644, 164,736,913,905, …Det finns ett oändligt antal Smith-tal vars decimalnotation representerar ett palindrom (läs samma från vänster till höger och från höger till vänster).