Antal taxibilar

Det n:te taxinumret , vanligtvis betecknat Ta( n ) eller Taxicab( n ), definieras som det minsta tal som kan representeras som summan av två positiva kuber på n olika sätt. Det mest kända taxinumret är 1729 = Ta(2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 .

Namnet på numret erhölls från ett samtal 1919 mellan matematikerna G. H. Hardy och Srinivasa Ramanujan . Hardy sa:

Jag minns en gång jag kom för att besöka honom (Ramanujan) som låg på sjukhuset i Pitney. Jag anlände i en taxi med numret 1729 och påpekade i samtal att numret var tråkigt och att jag hoppas att det inte var ett ogynnsamt tecken. "Nej", svarade han, "talet är mycket intressant, det är det minsta naturliga talet som kan representeras som en summa av kuber på två olika sätt!" [1] [2]

Definition

Konceptet nämndes första gången 1657 av Bernard Frenicle de Bessy och gjordes berömt i början av 1900-talet av Srinivas Ramanujan . År 1938 bevisade Hardy och Wright att sådana tal finns för alla positiva heltal n , och deras bevis kan lätt omvandlas till ett program för att generera sådana tal. Detta bevis ser dock inte till att detta antal är minimalt , så det kan inte användas för att hitta de faktiska värdena för Ta( n ).

Begränsningen av tecknet för summans termer är nödvändig, eftersom antagandet om negativa värden tillåter oss att representera fler (och mindre) tal som en summa av kuber på n olika sätt. Begreppet hyttnummer har föreslagits som ett mindre restriktivt alternativ. I en viss mening är antalet termer (två) och graden (kub) också en betydande begränsning. Det generaliserade taxinumret utgör ett problem för och under mer än två mandatperioder med en godtycklig grad.

Anmärkningsvärda taxinummer

Följande sex taxinummer är kända i sekvensen A011541 i OEIS :

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned))

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned }}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&= 255^{3}+414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&= 10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&= 205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+288934803\^&= 8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18283}922^{ +26224366^{3}\end{aligned}}

Toppskattningar för taxinummer

Tal är kända som kan representeras av summor av mer än 6 kuber, men det har inte bevisats för dem att de är minimitalen som har denna egenskap. [3]

{\begin{matrix}\operatörsnamn {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{36}\82^6{3}\5^6{3}&3}&26}+71 }\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=&2915734948\^{3}+459^={312} &2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\end{matris}}

{\begin{matrix}\operatörsnamn {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3}+288873632876^{3}+288873662876^{3}+2888736632876^{3}+2888736632876^{3}+2888736632876^{3}+2888736632876^{3}+2888736632876^{3}+288873662833}\9&9^{632873\9\3}&9^{6328763} \&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=&367589585749^7^3}\3}&869^7^7^3} {3}+58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\}\\

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3 }\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=&524194\7^41319491&5241949&5241949 +8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3}+4076877805518\4076877805538\7^8=7805538\7^4076877805588 \\\\\end{matris}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3 }\\&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&= &19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3} +904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\end{matris}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3 }\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&= &14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3} +1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494\^{}}{3}+284485090153030494\^{}\^{

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3 }\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&= &41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3} +3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3 }\end{matris}}

Upptäcktshistorik

Talet Ta(2), även känt som Hardy-Ramanujan-numret , publicerades först av Bernard Frenicle de Bessy 1657. [fyra]

John Leach erhöll Ta(3) 1957. E. Rosenthal, J. A. Dardis och K. R. Rosenthal hittade Ta(4) 1989 [5] . J. A. Dardis hittade Ta(5) 1994 och bekräftades av David W. Wilson 1999 [6] [7] . Numret Ta(6) tillkännagavs av Uwe Hollerbach på NMBRTHRY (Number Theory Wiki) den 9 mars 2008 [8] [9] . De övre gränserna för talen Ta(7) - Ta(12) hittades av Christian Boyer 2006 [3] .

Taxinummer utan kuber

Taxinummer problem med strängare begränsningar, vilket kräver att numren inte innehåller kuber, det vill säga att talen inte är delbara med kuber av andra tal än 1 3 . Då skrivs taxinumret T som T = x 3 + y 3 , där talen x och y måste vara coprime. Bland taxinumren Ta(n) ovan är det bara Ta(1) och Ta(2) som inte innehåller kuber. Det minsta antalet taxibilar utan kuber med tre representationer upptäcktes av Paul Vojta (opublicerad) 1981, när han var doktorand. Detta nummer

15170835645 = 517 3 + 2468 3 = 709 3 + 2456 3 = 1733 3 + 2152 3 .

Det minsta antalet taxibilar utan kuber med fyra representationer upptäcktes av Stuart Gascoigne och, oberoende, av Duncan Moore 2003. Detta nummer

1801049058342701083 = 92227 3 + 1216500 3 = 136635 3 + 1216102 3 = 341995 3 + 1207602 3 = 600259 3 + 1165884 3

sekvens A080642 i OEIS .

Se även

Diofantisk ekvation
Eulers gissning
Generaliserat antal taxibilar
Beals hypotes
Jacobi-Maddens ekvation
Prue-Tarry-Escott problem
Pythagoras kvartett
Summor av potenser , en lista över hypoteser och satser relaterade till potenser

Anteckningar

↑ Citat av G. H. Hardy, MacTutor History of Mathematics Arkiverad 16 juli 2012.
↑ Silverman, 1993 , sid. 331–340.
↑ 1 2 "'Nya övre gränser för taxi- och taxinummer" Christian Boyer, Frankrike, 2006–2008
↑ Thomas Ward, G. Everest. En introduktion till talteori (neopr.) . - London: Springer Science + Business Media , 2005. - S. 117 -118. — ISBN 9781852339173 . .
↑ Numbers Count kolumn, Personal Computer World, sidan 234, november 1989
↑ Antal kolumnen i Personal Computer World, sidan 610, februari 1995
↑ "The Fifth Taxicab Number är 48988659276962496" av David W. Wilson
↑ NMBRTHRY Archives – mars 2008 (#10) "Det sjätte taxinumret är 24153319581254312065344" av Uwe Hollerbach
↑ CS Calude, E. Calude och MJ Dinneen: Vad är värdet av Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), sid. 1196–1203

Litteratur

Joseph H. Silverman. Taxibilar och summor av två kuber // Amer. Matematik. En gång i månaden. - 1993. - T. 100 . - S. 331-340 . - doi : 10.2307/2324954 .
GH Hardy, EM Wright. Thm. 412 // En introduktion till talteorin . - 3:e upplagan - London & NY: Oxford University Press, 1954.
J. Leech. Några lösningar av diofantiska ekvationer // Proc. Cambridge Phil. Soc.. - 1957. - Utgåva. 53 . - S. 778-780 .
E. Rosenstiel, JA Dardis, C. R. Rosenstiel. online De fyra minsta lösningarna i distinkta positiva heltal i de diofantiska ekvationerna = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 // Bull. Inst. Matematik. Appl.. - 1991. - Utgåva. 27 . - S. 155-157 .
David W. Wilson. Det femte taxinumret är 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. - 1999. - T. 2 . Wilson var omedveten om JA Dardis tidigare upptäckt av Ta(5) 1994 när han skrev detta.
DJ Bernstein. Räkna upp lösningar till p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Mathematics of Computing. - 2000. - T. 70 , nr. 233 . - S. 389-394 .
CS Calude, E. Calude, MJ Dinneen:. Vad är värdet på Taxicab(6)? // Journal of Universal Computer Science. - 2003. - T. 9 . - S. 1196-1203 .

Länkar

Ett inlägg från 2002 till sändlistan Number Theory av Randall L. Rathbun
1729: Taxi Cab Number eller Hardy-Ramanujan Number . Arkiverad6 mars 2017 påWayback Machine
Taxibil och annan matematik på Euler
Singh, Simon Taxibilnummer i Futurama (länk ej tillgänglig) . Hämtad 16 april 2017. Arkiverad från originalet 16 maj 2017. (obestämd)