Utrymme av elementära händelser

Utrymmet av elementära händelser är uppsättningen av alla olika utfall av ett slumpmässigt experiment . $\Omega$

Ett element i denna uppsättning kallas en elementär händelse eller ett resultat . Utrymmet av elementära händelser kallas diskret om antalet av dess element är ändligt eller räknebart . Varje utrymme av elementära händelser som inte är diskret kallas icke- diskret , och samtidigt, om de observerade resultaten (inte att förväxla med slumpmässiga händelser ) är punkter i ett eller annat numeriskt aritmetiskt eller koordinatutrymme, så är utrymmet kallas kontinuerlig ( kontinuum ). Elementarhändelsernas rymd bildar tillsammans med händelsernas och sannolikhetens algebra en trippel som kallas sannolikhetsrummet . $\omega \i \Omega$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathbf {P}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Elementär händelse

I sannolikhetsteorin är elementära händelser eller atomhändelser de (elementära) resultaten av ett slumpmässigt experiment, varav exakt en inträffar i experimentet. Uppsättningen av alla elementära händelser betecknas vanligtvis med . $\Omega$

Varje delmängd av uppsättningen av elementära händelser kallas en slumpmässig händelse . Ett experiment sägs ha resulterat i en slumpmässig händelse om det (elementära) resultatet av experimentet är ett element av . Skillnaden mellan begreppen "elementär händelse" och "slumpmässig händelse" är att elementära händelser är element (därför kallas de atomhändelser), och slumpmässiga händelser är delmängder , det vill säga en slumpmässig händelse är en mängd vars element är elementära utvecklingar . $\Omega$ $A\delmängd\Omega$ $A$ $\Omega$ $\Omega$

I definitionen av ett sannolikhetsutrymme på en uppsättning slumpmässiga händelser, introduceras ett sigma-additivt ändligt mått , kallat sannolikhet.

Elementära händelser kan ha sannolikheter som är strikt positiva, noll, osäkra eller någon kombination av dessa alternativ. Till exempel bestäms varje diskret sannolikhetsfördelning av sannolikheterna för vad som kan kallas elementära händelser. Däremot har alla elementära händelser sannolikheten noll för en kontinuerlig fördelning. Blandade distributioner, som varken är kontinuerliga eller diskreta, kan innehålla atomer , som kan ses som elementära (det vill säga atomhändelser ) händelser med en sannolikhet som inte är noll. I måttteorin, i definitionen av ett sannolikhetsutrymme , kunde sannolikheten för en godtycklig elementär händelse inte definieras förrän matematiker såg skillnaden mellan utfallsutrymmet S och händelserna av intresse, som definieras som element i σ-algebra av händelser från S.

Formellt sett är en elementär händelse en delmängd av utrymmet för utfall av ett slumpmässigt experiment, som endast består av ett element; det vill säga en elementär händelse är fortfarande en uppsättning, men inte själva elementet. Men elementära händelser skrivs vanligtvis som element snarare än som uppsättningar för enkelhetens skull, när detta inte kan orsaka förvirring.

Exempel

Om en tärning kastas , kan den övre ytan vara en av de sex sidorna med ett antal punkter från en till sex. Förlusten av något ansikte i detta fall kallas i sannolikhetsteorin en elementär händelse [1] , dvs. $\omega_{k}$

$\omega_{1}$ - ansikte med en punkt;
$\omega _{2}$ - ansikte med två punkter;
…
$\omega _{6}$ - en sexpunktskant.

Uppsättningen av alla ansikten bildar ett utrymme av elementära händelser , delmängder av vilka kallas slumpmässiga händelser [1] . I fallet med ett enda kast med en tärning är exempel på händelser $\{\,\omega _{1},\ldots ,\omega _{6}\,\}$ $\Omega$ $A$

fall av ett ansikte med ett udda antal poäng, det vill säga händelsen är fall av ett ansikte med en punkt eller ett ansikte med tre poäng, eller ett ansikte med fem poäng). Matematiskt skrivs en händelse som en uppsättning som innehåller elementära händelser: , och . Alltså, ; $A$ $A$ $\omega_{1}$ $\Omega 3}$ $\omega _{5}$ $A=\{\,\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\,\}$
fall av ett ansikte med ett jämnt antal poäng, det vill säga händelsen är fall av ett ansikte med två punkter eller ett ansikte med fyra punkter, eller ett ansikte med sex punkter. Matematiskt skrivs en händelse som en uppsättning som innehåller elementära händelser: , och . Alltså, ; $A$ $A$ $\omega _{2}$ $\omega _{4}$ $\omega _{6}$ $A=\{\,\omega _{2},\omega _{4},\omega _{6}\,\}$

Några fler exempel på experimentresultatutrymmen är : $\Omega$

Om antalet möjliga utfall kan räknas kan elementära händelser betraktas som naturliga tal, utrymmet för elementära händelser i detta fall kommer att vara uppsättningen av naturliga tal . $\Omega = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
Om ett mynt kastas två gånger, , för huvuden och för svansar, är de elementära händelserna: , , och . $\Omega =\{ OO, OP, PO, PP\}$ $O$ $P$ $OO$ $OP$ $PO$ $PP$
Om är normalt fördelade slumpvariabler , då , är en uppsättning reella tal , och elementära händelser är reella tal. Detta exempel visar att den kontinuerliga sannolikhetsfördelningen inte bestäms av sannolikheterna för atomära händelser, eftersom sannolikheterna för alla elementära händelser här är noll. $X$ $\Omega = \{ - \infty ; \infty \}$

Anteckningar

↑ 1 2 Chernova N. I. Kapitel 1. § 2. Elementär sannolikhetsteori // Sannolikhetsteori . - Handledning. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 sid.

Utrymme av elementära händelser

Elementär händelse

Exempel

Anteckningar

Se även