Sannolikhetsfördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 mars 2021; kontroller kräver 33 redigeringar .

En sannolikhetsfördelning är en lag som beskriver intervallet av värden för en slumpmässig variabel och motsvarande sannolikheter för förekomst av dessa värden.

Definition

Låt ett sannolikhetsutrymme ges och en slumpvariabel definieras på det . I synnerhet, per definition, är en mätbar kartläggning av ett mätbart utrymme till ett mätbart utrymme , där betecknar Borel sigma-algebra på . Sedan inducerar den slumpmässiga variabeln ett sannolikhetsmått på följande: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

Måttet kallas fördelningen av den slumpmässiga variabeln . Med andra ord , sätter alltså sannolikheten för att den slumpmässiga variabeln faller in i mängden . $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\i B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Klassificering av distributioner

Funktionen kallas den (kumulativa) fördelningsfunktionen för den slumpmässiga variabeln . Satsen följer av sannolikhetens egenskaper : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $X$

Fördelningsfunktionen för en slumpvariabel uppfyller följande tre egenskaper: $F_{X}(x)$

$F_{X}$ är en icke-minskande funktion;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ kontinuerligt till höger.

Från det faktum att Borel sigma-algebra på den verkliga linjen genereras av en familj av intervall av formen , följer följande sats : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Alla funktioner som uppfyller de tre egenskaperna ovan är en distributionsfunktion för en viss distribution . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

För sannolikhetsfördelningar som har vissa egenskaper finns det mer bekväma sätt att specificera dem. Samtidigt klassificeras vanligtvis distributioner (och stokastiska variabler) efter fördelningsfunktionernas karaktär [1] .

Diskreta distributioner

En slumpvariabel kallas enkel eller diskret om den inte tar mer än ett räknebart antal värden. Det vill säga var finns en partition . $X$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Fördelningen av en enkel slumpvariabel ges då per definition av: . Genom att introducera notationen kan du definiera funktionen . På grund av sannolikhetens egenskaper . Med hjälp av räknebar additivitet är det lätt att visa att denna funktion unikt bestämmer fördelningen . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\summa _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $X$

En uppsättning sannolikheter där kallas sannolikhetsfördelningen för en diskret slumpvariabel . Uppsättningen av värden och sannolikheter kallas den diskreta lagen för sannolikhetsfördelning [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $X$ $a_{i},i=1,2...\infty$ $p_{i},i\in {1,2...\infty }$

För att illustrera ovanstående, överväg följande exempel.

Låt funktionen definieras på ett sådant sätt att och . Denna funktion definierar fördelningen av en slumpvariabel , för vilken (se Bernoulli-fördelningen , där slumpvariabeln tar värdena ). Den slumpmässiga variabeln är en modell av en balanserad myntkastning. $sid$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $X$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ $0.1$ $X$

Andra exempel på diskreta slumpvariabler är Poissonfördelningen , den binomialfördelningen , den geometriska fördelningen .

En diskret fördelning har följande egenskaper:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , om uppsättningen värden är ändlig - från sannolikhetsegenskaperna,
Fördelningsfunktionen har en ändlig eller räknebar uppsättning diskontinuitetspunkter av det första slaget, $F_{X}(x)$
Om är en punkt av kontinuitet , då existerar . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Gitterdistributioner

En gitterfördelning är en fördelning med en diskret fördelningsfunktion och diskontinuitetspunkterna för fördelningsfunktionen bildar en delmängd av punkter i formen , där är verklig, , är ett heltal [3] . $a+nh$ $a$ $h>0$ $n$

Sats. För att fördelningsfunktionen ska vara gitter med ett steg , är det nödvändigt och tillräckligt att dess karaktäristiska funktion uppfyller relationen [3] . $F$ $h$ $f$ $|f(2\pi /h)|=1$

Absolut kontinuerliga distributioner

Fördelningen av en slumpvariabel sägs vara absolut kontinuerlig om det finns en icke-negativ funktion sådan att . Funktionen kallas då för den slumpmässiga variabelns sannolikhetstäthetsfördelning . Funktionen av sådana distributioner är absolut kontinuerlig i betydelsen Lebesgue. $X$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $X$

Exempel på absolut kontinuerliga fördelningar är normalfördelningen , den enhetliga fördelningen , exponentialfördelningen , Cauchyfördelningen .

Exempel. Låt , när , och annars. Sedan om . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\delmängd [0,1]$

För varje distributionstäthet gäller följande egenskaper: $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Det omvända är också sant - om funktionen är sådan att: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

då finns det en fördelning som är dess densitet. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

Att tillämpa Newton-Leibniz-formeln leder till följande relationer mellan funktionen och densiteten för en absolut kontinuerlig fördelning:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Sats. Om är en kontinuerlig distributionstäthet och är dess fördelningsfunktion, alltså $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

När man konstruerar en fördelning baserad på empiriska (experimentella) data bör avrundningsfel undvikas .

Singular distributioner

Förutom diskreta och kontinuerliga slumpvariabler finns det variabler som varken är diskreta eller kontinuerliga på något intervall. Sådana slumpvariabler inkluderar till exempel de vars fördelningsfunktioner är kontinuerliga, men ökar endast på en uppsättning av Lebesgue-mått noll [4] .

Singularfördelningar är de som är koncentrerade på en uppsättning nollmått (vanligtvis Lebesgue-mått ).

Tabell över grundläggande distributioner

Diskreta distributioner

namn	Beteckning	Parameter	Bärare	Densitet (sekvens av sannolikheter)	Matta. förväntan	Dispersion	karakteristisk funktion
Diskret uniform	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\dots ,N\))$	${\frac {N+1}{2))$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Bern}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binom	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Poisson	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+))$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geometrisk	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2))))$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Absolut kontinuerliga distributioner

namn	Beteckning	Parameter	Bärare	Sannolikhetstäthet $f(x)$	Fördelningsfunktion F(x)	karakteristisk funktion	Förväntat värde	Median	Mode	Dispersion	Asymmetrikoefficient	Kurtos koefficient	Differentialentropi	Genererande funktion av moment
enhetlig kontinuerlig	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — skiftfaktor , — skalfaktor $a$ $ba$	$[a,b]$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2))$	${\frac {a+b}{2))$	valfritt nummer från segmentet $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normal (Gaussian)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — skiftfaktor , — skalfaktor $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatörsnamn {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ visst visst)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
lognormal	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Gammafördelning	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta}x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ på $\beta \geq 1$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta ))))$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ på $t<\alpha$
Exponentiell	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alfa >0$ — skalfaktor , — skiftfaktor $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ för }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — skiftfaktor , — skalfaktor $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Nej	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Nej	Nej	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Nej
Betadistribution	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ för $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ för $\alfa >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\summa _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chi-kvadrat	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ är antalet frihetsgrader	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2))$	$k$	handla om $k-2/3$	$k-2$ om $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k))$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\höger)\psi \left({\frac {k}{2}}\höger)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , om $2\,t<1$
Studerande	${\text{t}}(n)$	$n>0$ är antalet frihetsgrader	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ för $n>0$	$0$ , om $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , om $n>2$	$0$ , om $n>3$	${\frac {6}{n-4))$ , om $n>4$	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ höger]}\end{matris}}$	Inte
Fiskare	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - antal frihetsgrader	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1 }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , om $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , om $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ om $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ om $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\höger)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\höger)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2}}}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2)))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi}{2))}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - skalfaktor , - formfaktor $k>0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\right)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ för $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\höger)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logistisk	$L(\mu ,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ för $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ för $\|s\,t\|<1$
Wigner	$\rho (R)$	$R>0$ - radie	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ för $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-ett$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\text{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ är skalfaktorn , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , om $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ på $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ på $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ på $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Nej

var är gammafunktionen , är den ofullständiga gammafunktionen , är digammafunktionen , är betafunktionen , är den regulariserade ofullständiga betafunktionen , är den hypergeometriska funktionen , är Besselfunktionen , är den modifierade Besselfunktionen av det första slaget , är den modifierade Bessel-funktionen av det andra släktet , är Tricomi-funktionen . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ ${\displaystyle I_{x))$ $_{1}F_{1}$ ${\displaystyle _{2}F_{1))$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu ))$ $U(a,b,z)$

Multivariata distributioner

namn	Beteckning	Parameter	Bärare	Densitet (sekvens av sannolikheter)	Matta. förväntan	Dispersion	karakteristisk funktion
Gaussisk	$N(a,\Sigma )$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - sym. och neon. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$a$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Anteckningar

↑ Matalytsky, Khatskevich. Sannolikhetsteori, matematisk statistik och stokastiska processer, 2012. - P.69
↑ Matalytsky, Khatskevich. Sannolikhetsteori, matematisk statistik och slumpmässiga processer, 2012. - P.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , sid. 38.
↑ Matalytsky, Khatskevich. Sannolikhetsteori, matematisk statistik och stokastiska processer, 2012. — P.76

Litteratur

Sannolikhetsfördelning // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Lagutin M.B. Visuell matematisk statistik. - M. : Binom, 2009. - 472 sid.
Zjukovsky M.E. , Rodionov I.V. Grunderna i sannolikhetsteorin. - M. : MIPT, 2015. - 82 sid.
Zjukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introduktion till matematisk statistik. - M. : MIPT, 2017. - 109 sid.
Ramachandran B. Teori om karakteristiska funktioner. - M. : Nauka, 1975. - 224 sid.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Handbok i sannolikhetslära och matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 sid.
Gubarev V.V. Probabilistiska modeller: En handbok i 2 delar. - Novosibirsk.: Novosibirsk. ellära in-t, 1992. - 422 sid.

Se även

marginell fördelning

Ordböcker och uppslagsverk

Stor norsk

I bibliografiska kataloger
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula