Kärna (statistik)

Kärnan ( engelska kärnan ) i statistik och ekonometri kallas fönstret (viktfunktion). Bayesiansk , icke- parametrisk statistik och mönsterigenkänningsteori behandlar termen på olika sätt.

Icke-parametrisk statistik

I icke- parametrisk statistik är en kärna en viktfunktion som används för att uppskatta distributioner och parametrar ( kärndensitetsuppskattning , kärnregression ). Kärnor används också i tidsserieanalys . Kärnutvärdering kräver specifikation av fönsterbredden.

Definition

En icke-negativ realvärderad integrerbar funktion K kallas en kärna. I de flesta fall är det önskvärt att funktionen uppfyller ytterligare två krav:

Ransonering:

\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;

Symmetri:

K(-u)=K(u)\quad \forall u\,.

Om funktionen har den första egenskapen kommer resultatet av kärndensitetsuppskattningen verkligen att vara en sannolikhetstäthet . Den andra egenskapen säkerställer att medelvärdet av fördelningen är lika med medelvärdet av det använda urvalet.

Om funktionen K är en kärna, så kommer även funktionen K *( u ) = λ K (λ u ) för λ > 0 att vara en kärna. Detta resultat låter dig välja en skala som är lämplig för tillgänglig data.

Vanligt använda kärnfunktioner

I praktiken är flera typer av kärnor vanliga: enhetliga, triangulära, Epanechnikovo [1] , Gaussiska och så vidare.

Nedan finns en tabell över vanliga kärnor. Om stödet för kärnan K är begränsat, då för alla värden på u utanför stödet för . $K(u)=0$

Kärnfunktioner, K ( u )		$\textstyle \int u^{2}K(u)du$	$\textstyle \int K(u)^{2}du$	Effektivitet [2] med avseende på Epanechnikov-kärnan
Enhetlig	$K(u)={\frac {1}{2))$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac 13}$	$\frac12$	92,9 %
triangulär	$K(u)=(1-\|u\|)$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	98,6 %
Epanechnikovo (parabolisk)	$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	100 %
Bisquare	$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{7))$	${\frac {5}{7}}$	99,4 %
Trisquare	$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {350}{429}}$	98,7 %
Trikubisk	$K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left\|u\right\|}^{3})^{3}$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\frac {35}{243}}$	${\frac {175}{247}}$	99,8 %
Gaussisk	$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$	$ett\,$	${\frac {1}{2{\sqrt {\pi ))))$	95,1 %
cosinus	$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)$ Bärare: $\|u\|\leq 1$	${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2))))$	${\frac {\pi ^{2}}{16}}$	99,9 %
Logistisk	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u))))$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	88,7 %
Sigmoid	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u)))))$	${\frac {\pi ^{2}}{4}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2))))$	84,3 %
Silverman [3]	$K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\|u\|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac { \|u\|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$	$0$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}$	inte bestämd

Grafer över vissa kärnor

Se även

Uppskattning av kärntäthet ( densitetsuppskattning )
Nukleär utjämning
Stokastisk kärna

Anteckningar

↑ Epanechnikov, VA Icke-parametrisk uppskattning av en multivariat sannolikhetstäthet // Theory Probab . Appl. : journal. - 1969. - Vol. 14 , nr. 1 . - S. 153-158 . - doi : 10.1137/1114019 .
↑ Effektivitet definierad som . ${\sqrt {\int u^{2}K(u)\,du))\int K(u)^{2}\,du$
↑ Silverman, BW- densitetsuppskattning för statistik och dataanalys . — Chapman och Hall, London, 1986.

Litteratur

Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice . - Princeton University Press , 2007. - ISBN 0-691-12161-3 .

Zucchini, Walter TILLÄMPADE UTLÄTTNINGSTEKNIKER Del 1: Uppskattning av kärndensitet (länk ej tillgänglig) . Hämtad 12 augusti 2015. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)

Comaniciu, D; Meer, P. Mean shift: A robust approach to feature space analysis // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : journal. - 2002. - Vol. 24 , nr. 5 . - s. 603-619 . - doi : 10.1109/34.1000236 .