Poisson kärna

Poisson -kärnan är kärnan som används för att lösa den tvådimensionella Laplace-ekvationen , med hänsyn till Dirichlets gränsvillkor i enhetscirkeln . Kärnan kan representeras som derivatan av Greenens funktion för Laplace-ekvationen. Kärnan är uppkallad efter S. Poisson .

Poisson-kärnan spelar en viktig roll i komplex analys eftersom integralen av Poisson-kärnan - Poisson- integralen - utökar en funktion definierad på enhetscirkeln till en harmonisk funktion definierad på enhetscirkeln. Per definition är harmoniska funktioner lösningar av Laplace-ekvationen och - i det tvådimensionella fallet - är ekvivalenta med meromorfa funktioner . Således liknar det tvådimensionella Dirichlet-problemet i huvudsak problemet med att hitta en meromorf fortsättning av en funktion definierad på gränsen för domänen . Det är också möjligt att utöka definitionerna av Poisson-kärnan till det n-dimensionella fallet.

Poisson-kärnor hittar ofta tillämpningar inom kontrollteori och elektrostatik .

Poisson-kärnan i det tvådimensionella fallet

På det komplexa planet ges Poisson-kärnan av $P_{r}(\theta )$

P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.

Denna formel kan betraktas från två sidor: som en funktion eller som en familj av funktioner för $r(\Theta )$ ${\displaystyle \Theta _{r))$ $0\leq r<1.$

Om domänen är sådan att den är enhetscirkeln i det komplexa Lebesgue- utrymmet och om funktionen ges i domänen , då funktionen $D$ $D=\{z:|z|<1\}$ $f$ $D$

u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1

är en harmonisk funktion i regionen $D.$

Eftersom gränsvillkoren för funktionen sammanfaller med gränsvillkoren för funktionen , definierar vid faltningen i rummet $u$ $f$ $r\rightarrow 1\ \ P_{r}(\theta )$ $L^{p}(T).$

Faltningar med denna approximation visar ett exempel på kärnsummering för Fourierserier i rymden Låt funktionen ha en Fourierserie Efter Fouriertransformationer multipliceras faltningen med serien $L^{1}.$ $f\in L^{1}(T)$ $\{f_{k}\}.$ $P_{r}(\theta )$ $\{r^{k}\}\in L^{1}(Z).$

Litteratur

Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Gilbarg, D. & Trudinger, N. , Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen , ISBN 3-540-41160-7 .