4-acceleration

4-acceleration (fyra-acceleration, fyra-acceleration) i relativistisk kinematik är en fyr-vektor som generaliserar den klassiska accelerationen och definieras som derivatan av 4-hastigheten med avseende på partikelns rätta tid :

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}c,\ quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\right),

var

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-acceleration,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

— dimensionslös 3-växlad,

{\dot \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right )^{{3/2}}}}

och är Lorentz-faktorn för 3-hastigheten u . Punkten ovanför variabeln betyder derivatan med avseende på koordinattid i en given referensram, och inte med avseende på korrekt tid $\gamma _{u}$ $\tau .$

I en omedelbart kommande tröghetsreferensram , och det vill säga i en sådan referensram ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\dot \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\right).

Geometriskt är 4-accelerationen krökningsvektorn för världslinjen [1] [2] .

Således är modulen för 4-accelerationen (som är en invariant skalär) lika med den inneboende accelerationen , som "känns" av en partikel som rör sig längs sin världslinje . Världslinjer som har en konstant 4-acceleration är Minkowski-cirklar, alltså hyperboler (se hyperbolisk rörelse ).

Även vid relativistiska hastigheter är 4-accelerationen relaterad till 4-kraften som verkar på partikeln genom en formel som generaliserar Newtons klassiska andra lag :

F^{\mu}=mA^{\mu};

här är m partikelns massa .

Den skalära produkten av 4-hastigheten och motsvarande 4-acceleration är alltid noll. Det är lätt att se detta genom att särskilja identiteten med avseende på rätt tid: Således är 4-accelerationen och motsvarande 4-kraft som samriktas med den, som verkar på en partikel, alltid ortogonala mot dess 4-hastighet (och 4-momentum samregisserad med 4-hastigheten ) - i motsats till klassisk mekanik. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

I allmän relativitet är komponenterna i fyrvektoraccelerationen relaterade till komponenterna i fyrahastigheten genom den kovarianta derivatan med avseende på korrekt tid.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu}U^{\nu }

( Γ λ μν är Christoffel-symboler ).

I speciell relativitet uttrycks koordinaterna vanligtvis i en rätlinjig tröghetsreferensram, så termen med Christoffel-symboler försvinner, men ibland, när författarna använder kurvlinjära koordinater för att beskriva det accelererade systemet, är referensramen inte tröghet, utan fysik förblir fortfarande speciell relativistisk, eftersom metriken helt enkelt är koordinattransformationen av Minkowski-rymdmetriken . I ett sådant fall bör uttrycket ovan användas, för här är Christoffel-symbolerna inte alla noll.

När 4-kraften är noll verkar bara gravitationen på partikeln, och fyrvektorversionen av Newtons andra lag (se ovan) reduceras till den geodetiska ekvationen. En partikel som gör geodetisk rörelse har ett nollvärde för varje komponent i 4-accelerationsvektorn. Detta överensstämmer med det faktum att gravitationen inte är en kraft.

Se även

Anteckningar

↑ Pauli W. Relativitetsteori . — 1981 Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - S. 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tensor Calculus . — 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - S. 149, 153 och 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Litteratur

Pauli W. Relativitetsteorin . — återutgiven 1981 av Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Föreläsningar om allmän relativitet . — D. Reidel Publishing Company, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Introduktion till speciell relativitet (2:a ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Tensor Calculus . — återutgiven 1978 av Dover. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .