LULU utjämning

LULU- utjämning är en icke- linjär signalbehandlingsteknik för att ta bort impulsbrus från en sekvens av data, till exempel en tidsserie . Det är den icke-linjära motsvarigheten till ett glidande medelvärde (eller annan utjämningsteknik) på tidsserier, liknande andra icke-linjära utjämningstekniker som Tukeys metod eller medianutjämning . [ett]

LULU-filter jämförs i detalj med medianfilter i Jankowitz arbete och de har vissa fördelar, särskilt idempotens . [2]

Egenskaper

Lulu-operatorer har många attraktiva matematiska egenskaper, bland dem idempotens – det vill säga att flera appliceringar av en operator ger samma resultat som en enda applikation – och coidempotens. Detta ska förstås på följande sätt: "Idempotens betyder att det inte finns något "brus" kvar i den utjämnade datan, och coidempotens betyder att residualerna inte innehåller en "signal"." [3]

När du lär dig kantutjämningsmetoder finns det fyra egenskaper som är användbara att optimera: [4]

Effektivitet
Konsistens
Stabilitet
Prestanda

Operatörer kan också användas för att dekomponera en signal i flera komponenter, till exempel i en wavelet-transform eller en Fourier-transform. [5]

Historik

Lulu-operatörer upptäcktes av Carl H. Rohwer och har studerats under de senaste 30 åren. [6] [7] Deras exakta och asymptotiska fördelningar har härletts. [3]

Hur det fungerar

Att tillämpa Lulu-operatorn består av att återapplicera och -operatorerna över ett givet dataintervall. Som med andra utjämningsoperatörer krävs en fast intervallbredd. Lulu-operatorer består av den upprepade tillämpningen av de så kallade (nedre) och (övre) operatorerna, som definieras enligt följande: $min$ $max$ $L$ $U$

Operatör L

För breddoperatorn över en oändlig sekvens beräknas resultatet av att tillämpa den på enligt följande: $L$ $n$ $(...,x_{j},x_{j+1},...)$ $x_{j}$

Först väljs undersekvenser av längd var och en. Var och en av dem innehåller ett element . Till exempel, för bredd 1, väljs 2 undersekvenser, var och en med längd 2. För bredd 1 är dessa undersekvenser och . För bredd 2 skulle dessa vara undersekvenser av , och . För bredd 2 betecknar vi dessa undersekvenser som , och . $n+1$ $n+1$ $x_{j}$ $(x_{j-1},x_{j})$ $(x_{j},x_{j+1})$ $(x_{j-2},x_{j-1},x_{j})$ $(x_{j-1},x_{j},x_{j+1})$ $(x_{j},x_{j+1},x_{j+2})$ ${\displaystyle seq_{-1))$ ${\displaystyle seq_{0))$ $seq_{+1}$
Därefter beräknas minimum för var och en av undersekvenserna. För längd 2 får vi: . Detta ger oss ett nummer för varje punkt i den ursprungliga sekvensen. $(Min(seq_{-1}),Min(seq_{0}),Min(seq_{+1}))$ $n+1$
Slutligen beräknas det maximala av de erhållna minimivärdena , och detta är värdet . $Max(Min(seq_{-1}),Min(seq_{0}),Min(seq_{+1}))$ $L(x_{j})$

Så för bredd 2 ser påståendet ut så här: $L$

L(x_{j})=Max(Min(seq_{-1}),Min(seq_{0}),Min(seq_{+1}))

Operatör U

Operatören definieras på exakt samma sätt som operatorn , förutom att operatorerna och är omvända. Till exempel, för bredd 2 har vi: $U$ $L$ $Min$ $Max$

U(x_{j})=Min(Max(seq_{-1}),Max(seq_{0}),Max(seq_{+1}))

Exempel

Exempel på användning av operatorer och , samt deras sammansättningar och visas i följande grafer. $U$ $L$ $UL$ $LU$

Det kan ses att resultaten av att tillämpa de kombinerade operatörerna och kan skilja sig åt. Kombinerade operatörer tar bort impulsbrus mycket effektivt, utom kanske när flera brusimpulser förekommer mycket nära i provet. I detta fall "ser" filtret de multipla spikarna som en del av signalen. $UL$ $LU$

Länkar

↑ Tukey, JW (1974). "Icke-linjära (icke överlagringsbara) metoder för att utjämna data". Kong. Rec . EASCON: 673.
↑ Jankowitz, M.D. (2007). Några statistiska aspekter av LULU smoothers (PhD Thesis). Universitetet i Stellenbosch.
↑ 1 2 Conradie, WJ och de Wet, T. och Jankowitz, M. (2006). "Exakta och asymptotiska fördelningar av LULU-utjämnare". Journal of Computational and Applied Mathematics . 186 (1): 253-267. Bibcode : 2006JCoAM.186..253C . DOI : 10.1016/j.cam.2005.03.073 .
↑ Rohwer, Carl. Icke-linjär utjämning och multiupplösningsanalys. - Birkhauser Basel, 2005. - Vol. 150.
↑ Fabris-Rotelli, Inger Nicolette (2009). LULU-operatörer på flerdimensionella arrayer och applikationer (examensuppsats). University of Pretoria.
↑ Rohwer, CH (1989). "Idempotent ensidig approximation av medianutjämnare". Journal of Approximation Theory . 58 (2): 151-163. DOI : 10.1016/0021-9045(89)90017-8 .
↑ Rohwer, CH (1999). Projektioner och separatorer. Questiones Mathematicae . 22 (2): 219-230. DOI : 10.1080/16073606.1999.9632077 .