En Abelisk varietet är en projektiv algebraisk varietet , som är en algebraisk grupp (det betyder att kompositionslagen ges av en reguljär funktion ).
Abeliska varianter är väl studerade objekt i algebraisk geometri. Detta koncept används i olika grenar av algebraisk geometri och talteori.
En Abelsk variant kan definieras av ekvationer med koefficienter i vilket fält k som helst . De säger att en sort är över ett fält k . Historiskt sett studerades Abeliska varianter inom området komplexa tal först.
Ett specialfall är Abeliska varianter över algebraiska talfält . Detta fall är viktigt i talteorin.
Det kan bevisas [1] att en Abelsk variant är kommutativ som en grupp, det vill säga att den är en Abelisk grupp .
För Abeliska varianter X, Y över fältet komplexa tal är varietets isomorfism, under vilken 1 X blir 1 Y , en gruppisomorfism.
Ett kriterium för att en given komplex torus ska vara en abelsk sort, d.v.s. om ett projektivt utrymme kan bäddas in. Låt V vara ett vektorrum med dimension och L vara ett gitter i V . En torus X = V/L är en Abelisk variant endast om det finns en positiv-definitiv hermitisk form på V vars imaginära del tar heltalsvärden på gittret L × L .
Chevalleys sats om algebraiska grupper : Vilken algebraisk grupp G som helst innehåller en normal undergrupp N , som är en affin varietet , så att kvotgruppen G / N är en Abelisk varietet. (Undergruppen N med den här egenskapen är unik.)
I fallet med dimension 1 är begreppet en abelsk sort ekvivalent med begreppet en elliptisk kurva .
För n > 1 är en Abelsk variation över området komplexa tal , som ett topologiskt utrymme , homeomorf till en n-dimensionell komplex torus (behandlas som en projektiv varietet).
I början av artonhundratalet gav teorin om elliptiska funktioner grunden för teorin om elliptiska integraler . Elliptiska integraler har kvadratrötter från 3:e och 4:e gradens polynom. Vad kommer att hända vid högre examina? Verken av Abel och Jacobi betraktade funktioner av två komplexa variabler. Detta var det första exemplet på en abelsk variant av dimension 2 (en abelsk yta).