Axiom för räknebart val

Axiomet för det räknebara valet är ett axiom för mängdteorin , vanligtvis betecknat . Axiomet säger att för varje räknebar familj av icke-tomma mängder finns det en " valfunktion " som extraherar från varje mängd en och endast en av dess beståndsdelar. Med andra ord, för en sekvens av icke-tomma mängder kan man konstruera en sekvens av deras representanter , medan mängderna kan vara oändliga och till och med oräkneliga [1] .

Axiomets plats i matematik

Axiomet för räknebart val är en begränsad version av det fullständiga valaxiomet ( ), till skillnad från det senare hävdar det att det finns en valfunktion endast för en räknebar familj av mängder. Som Paul Cohen bevisade , är axiomet för det räknebara valet oberoende av andra axiom för mängdteorin (utan valets axiom) [2] . Till skillnad från det fullständiga axiomet för val leder inte axiomet för det räknebara valet till bollens dubbla paradox eller andra kontraintuitiva konsekvenser.

Axiomet för räknebart val är tillräckligt för att motivera analysens huvudsatser . Det följer särskilt [3] :

• för varje gränspunkt finns det en sekvens som konvergerar till den;
• Lebesgue-måttet är countably additiv;
• varje oändlig mängd innehåller en räknebar delmängd.

En betydande del av påståendena om mängdteorin kan dock inte bevisas med hjälp av axiomet för countable choice. Till exempel, för att bevisa att varje uppsättning kan ordnas väl , krävs ett komplett valfritt axiom.

Det finns en något starkare version som kallas " axiom för beroende val " ( ). Axiomet för det räknebara valet följer därav, såväl som av determinismens axiom ( ).

Litteratur

• Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. — M .: Nauka, 1977. — 368 sid. — 3 kap. 4 §.
• Kanovey VG Valets axiom och determinismens axiom. — M .: Nauka, 1984. — 64 sid. — (Problem med vetenskap och tekniska framsteg).
• Medvedev F. A. Tidig historia om valets axiom . — M .: Nauka, 1982. — 304 sid. Arkiverad 28 oktober 2015 på Wayback Machine
• Medvedev F. A. Valets axiom och matematisk analys // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr 25 . — S. 167-188 .
• Uppslagsbok om matematisk logik. Del II. Mängdlära = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 sid.
• Herrlich, Horst. Valprinciper i elementär topologi och analys  (engelska)  // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - Vol. 38, nr. 3 . — S. 545.
• Potter, Michael. Mängdlära och dess filosofi: En kritisk introduktion . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 .  (Engelsk)

Anteckningar

1. ↑ Kanovey V.G., 1984 , sid. 9.
2. ↑ Potter, 2004 , sid. 164.
3. ↑ Kanovey V.G., 1984 , sid. 6, 9.