Determinismens axiom

Determinismens axiom är ett axiom för mängdlära , vanligtvis betecknat AD . Detta axiom föreslogs 1962 av de polska matematikerna Jan Mycielski och Hugo Steinhaus [1] som en ersättning för det valda axiomet (infört 1904, betecknat AC ). Anledningen till sökandet efter ett alternativ till valets axiom var de ovanliga konsekvenserna av detta axiom, som orsakade och fortsätter att orsaka kritik från vissa matematiker. Till exempel, vid tillämpning av valets axiom, uppstår paradoxala konstruktioner, såsom " paradoxen att fördubbla bollen ". Många matematiker har noterat att de mängder vars existens bevisas med hjälp av valets axiom saknar individualitet i den meningen att vi inte kan uttömmande beskriva deras sammansättning på grund av avsaknaden av en tydlig urvalsalgoritm [2] .

I de klassiska grenarna av matematik ( talteori , kalkyl , etc.) förändrar inte AC med AD någonting, men i mängdteori och topologi skiljer sig konsekvenserna av determinismens axiom avsevärt från de av valets axiom i många sätt. Till exempel följer det av AD att alla uppsättningar av reella tal är mätbara, kontinuumproblemet löses unikt (det finns inga mellanliggande kardinaliteter), och kulfördubblingsparadoxen uppstår inte.

Determinismens axiom har genom sin existens väckt stort intresse bland specialister inom matematikens grunder, många publikationer ägnas åt det [3] , särskilt inom området deskriptiv mängdteori . Enligt anhängarna av detta axiom liknar situationen i mängdteorin nu situationen efter upptäckten av icke-euklidisk geometri - man kan inse att det inte finns en mängdteori, utan åtminstone två, och frågan om vilken av dem är korrekt är meningslöst. Förespråkarna noterar också att mängdteori baserad på determinismens axiom är mer förenlig med matematisk intuition än baserad på valets axiom [2] [4] .

Deterministiska spel

Determinismens axiom är lättast att definiera i termer inte av mängdteorin , utan av spelteorin [5] . Betrakta någon (fast) mängd A som består av oändliga sekvenser av naturliga tal (sådana sekvenser bildar ett topologiskt Baer-utrymme ).

Låt oss definiera ett spel för två personer med följande regler. Spelare I, som startar spelet, skriver ett naturligt tal. Spelare II, som känner till detta drag, skriver ett nummer. Sedan fortsätter de att bilda en sekvens i tur och ordning - spelare I väljer dess jämna element, spelare II - udda. Spelet varar på obestämd tid, men dess resultat förklaras enligt följande regel: om den bildade sekvensen finns i den givna uppsättningen A, så vann spelare I, annars spelare II. $G_{A}$ $a_{0}.$ $a_{1}.$

Det är lätt att se att om mängden A är ändlig eller räknebar, så har spelare II en enkel vinnande strategi — på det i- :te draget (där är udda, ) välj ett nummer som inte sammanfaller med det i -de elementet i den i:te sekvensen av mängden A ("diagonalmetod"). Då kommer den resulterande sekvensen säkerligen inte att sammanfalla med något element i mängden A. Vidare antas det att i det allmänna fallet har varje spelare sin egen strategi, det vill säga att det finns en tydlig algoritm som indikerar nästa nummer för varje fragment av den genererade sekvensen (inklusive den initiala, tomma). $n$ $n$ $n=2m+1$ $n$ $m$

Strategin för spelare I kallas vinnande om den för något initialt fragment (om fragmentet inte är tomt, då udda) där varje term med ett jämnt index bestämdes av denna strategi, kan hitta så att den slutliga oändliga sekvensen ( bildad av alla svar från spelare II) tillhör set A. Den vinnande strategin för spelare II definieras på liknande sätt — den måste föreslå siffror som så småningom kommer att hindra motståndaren från att bilda ett resultat som ingår i set A. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ $n$ $a_{{n+1}}$

Uppsättningen A (och motsvarande spel ) kallas deterministisk om en av spelarna har en vinnande strategi. $G_{A}$

Det framgår av spelreglerna att situationen när båda spelarna har en vinnande strategi är omöjlig. Det är också tydligt att närvaron av egenskapen determinism beror på mängden A. Ovan är ett exempel när spelet säkert är deterministiskt (om mängden A är finit eller räknebar). Egenskapen för determinism har alltså faktiskt inte ett spel, utan en set-teoretisk karaktär [6] .

Uttalande av determinismens axiom

Vilken mängd A som helst är deterministisk.

Under studiet av detta axiom dök modifierade versioner av det upp:

Axiomet för verklig determinism är en förstärkt version för kontinuummängder.
Axiom AD+ är en annan förstärkt version.
Axiomet för projektiv determinism är en speciell variant för projektiva mängder.

Jämförelse mellan determinismens axiom och valets axiom

Vidare antyds den allmänt accepterade axiomatiken i Zermelo-Fraenkels uppsättningsteorin (förkortad som ZF ) genomgående . Från determinismens axiom följer (för området reella tal) axiomet för det räknebara valet , på vilket de grundläggande satserna för matematisk analys är baserade . Därför är det nya axiomet kompatibelt med klassisk matematik. Det är dock oförenligt med det fullständiga valets axiom - det har bevisats [6] att med hjälp av valets axiom är det möjligt att konstruera en icke-deterministisk mängd A, som direkt motsäger determinismens axiom.

Många konsekvenser av konkurrerande axiom i mängdteori och topologi är motsatta. Med hjälp av valets axiom bevisas det att det finns uppsättningar av reella tal som inte är mätbara i betydelsen Lebesgue ; det följer av determinismens axiom att sådana mängder inte existerar – alla uppsättningar av reella tal är mätbara. Problemet med kontinuumet löses på olika sätt (existensen av mellanpotenser mellan räknebara och kontinuerliga ) - Zermelo-Fraenkels axiomatik tillåter något av de två alternativen för att lösa detta problem (det vill säga det kan varken bevisas eller vederläggas), medan från axiom för determinism en unik lösning härleds: varje oändlig oräknelig uppsättning reella tal är kontinuerlig. Det finns också många andra skillnader: determinismens axiom gör det möjligt att helt beställa inte några, utan bara ändliga och räknebara mängder, icke-standardiserad analys förlorar grund [7] . Den beskrivande mängdteorin som nämns ovan stämmer särskilt dåligt överens med valets axiom - många av de hypoteser som lagts fram i denna teori, liksom kontinuumhypotesen, visade sig vara oavgjorda, medan determinismens axiom låter dessa hypoteser noggrant bevisas; detta förklarar det stora intresset för detta axiom hos matematiker som studerar deskriptiv mängdlära [8] .

Anteckningar

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. (1962). Ett matematiskt axiom som motsäger valets axiom. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , sid. 3, 4.
↑ Kanovey V.G., 1985 , sid. 5, 15.
↑ Kanovey V.G., 1984 , sid. 29.
↑ Kanovey V.G., 1984 , sid. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , sid. 33-35.
↑ Kanovey V.G., 1984 , sid. 51.
↑ Kanovey V.G., 1985 , sid. fyra.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. — M .: Nauka, 1977. — 368 sid. — 3 kap. 4 §.
Kanovey VG Valets axiom och determinismens axiom. — M .: Nauka, 1984. — 64 sid. — (Problem med vetenskap och tekniska framsteg).
Kanovei VG Determinismens axiom och den moderna utvecklingen av deskriptiv mängdlära // Itogi Nauki i Tekhniki. Serie: Algebra. Topologi. Geometri. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Uppslagsbok om matematisk logik. Del II. Mängdlära = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 sid.
Kleinberg EM Infinitär kombinatorik och beslutsamhetens axiom. — Berlin: Springer, 1977.
Martin DA Axiomet för beslutsamhet och reduktionsprinciper i den analytiska hierarkin // Bull. amer. Matematik. soc. - 1968. - Vol. 74, nr 4. - P. 687-689.
Moschovakis YM Beskrivande mängdlära. - Amsterdam: North Holland, 1980.