Steenrod-Eilenbergs axiom

Steenrod-Eilenberg-axiomen är en uppsättning grundläggande egenskaper hos homologiteorier identifierade av Eilenberg och Steenrod .

Detta tillvägagångssätt gör att man kan bevisa resultat, såsom Mayer-Vietoris-sekvensen , för alla homologiteorier på en gång.

Axiom

Låta vara en sekvens av funktorer från kategorin av par av topologiska utrymmen till kategorin av kommutativa grupper , utrustade med en naturlig transformation som kallas gränsen . (Här är en förkortning för .) $H_n$ $(X,A)$ $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset )$

Homotopi-ekvivalens inducerar samma homologi. Det vill säga, om är homotopisk , så är deras inducerade mappningar desamma. $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$
Anta att det finns ett par och är en delmängd av , så att dess stängning finns i det inre av . Sedan inducerar inkluderingen en isomorfism i homologi. $(X,A)$ $U$ $X$ $A$ $i\colon (XU,AU)\to (X,A)$
Låt det finnas ett enpunkts topologiskt utrymme, då för alla . $P$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Om , är en osammanhängande förening av en familj av topologiska utrymmen , då . $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alpha }$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Varje par inducerar en lång exakt sekvens av inklusionshomologier och : $(X,A)$ $i\colon A\to X$ $j\colon X\to (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Litteratur

C. Kosniewski grundkurs i algebraisk topologi