Aritmetisk kombinatorik

Aritmetisk kombinatorik är ett tvärvetenskapligt område av matematik som studerar förhållandet mellan strukturer som bildas i ett fält (mer sällan, i en ring ) genom operationen av addition och driften av multiplikation.

Tillvägagångssättet för begreppet struktur här liknar additiv kombinatorik och baseras huvudsakligen på storleken på uppsättningen av summor (eller produkter), additiv (eller multiplikativ) energi och deras olika kombinationer. Som ett fält betraktas vanligtvis reella eller rationella tal ( , ) och rester modulo prime ( ). ${\mathbb {R} }$ ${{\mathbb Q}}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Tvetydighet i terminologi och ämnet för artikeln

Additiv och aritmetisk kombinatorik är unga, aktivt utvecklande vetenskaper. Deras metoder och sätt att ställa problem är mycket lika, därför anses additiv kombinatorik som regel som en del av aritmetiken. [1] Den här artikeln beskriver endast ämnen som innehåller både fältoperationer i en eller annan form eller deras inverser, det vill säga som inte hör till rent additiv kombinatorik (även om den senare utgör en ganska betydande del av aritmetiken).

Dessutom berörs inte frågor om de additiv-kombinatoriska egenskaperna hos multiplikativa undergrupper och relaterade mängder här, eftersom, även om deras definition är relaterad till multiplikation, är deras multiplikativa struktur fast fixerad, och den kombinatoriska komponenten i denna vetenskap innebär en eller annan generalitet vad gäller graden av struktur (åtminstone med en parameter som fungerar som en konstant). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motivation

Utvecklingen av aritmetisk kombinatorik motiverades till stor del av uppkomsten av summaproduktsatsen , som talar om den oumbärliga tillväxten av mängder från att tillämpa antingen kombinatorisk summering eller multiplikation på den, det vill säga en av två operationer:

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Av detta följer att kombinationen av dessa verksamheter också medför tillväxt: om , då $\{0,1\}\subset A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

och tillägget av ett ändligt antal element påverkar tillväxten endast marginellt. Eftersom summaproduktsatsen endast har bevisats i en svag form (långt ifrån en hypotes), har vissa forskare blivit intresserade av att få påståenden av detta slag som skulle följa av starkare former av hypotesen än de som bevisats, och därefter i allmänna studier förhållandet mellan resultaten av olika kombinationer av två operationsfält. $A$

Till exempel anger Erdős-Szemeredy summa-produkt gissningen att [2]

{\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} ))

Det skulle följa av denna hypotes att , men för uppsättningar , kan ett sådant resultat lätt erhållas utan det genom enkla kombinatoriska resonemang. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subset {\mathbb {N} }$

Uppgifter och resultat

Det här avsnittet använder konventionell notation för att beskriva resultaten (förklaras i O-notation ):

$X\ll Y$ innebär att $X=O(Y)$

$X\lesssim Y$ innebär att $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Rationella uttryck

Uttalande av frågan

Låt ett rationellt uttryck över mängder vara valfri kombination av aritmetiska operationer ( ) mellan dem. Operationen här betyder tillämpningen enligt principen om flera summor: ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k))$ $+,-,\times ,/$

{\displaystyle A\circ B=\{a\circ b\ :\ a\in A,\ b\in B\))

Till exempel är följande uppsättningar rationella uttryck över : $A,B,C$

själva uppsättningarna ; $A,\ B,\ C$

${\displaystyle A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\))$ är ett rationellt uttryck över ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\))$ .

I analogi med additiv energi, som ofta används för att uppskatta en uppsättning summor, är det bekvämt att överväga antalet lösningar av en symmetrisk ekvation med ett rationellt uttryck. Till exempel,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\i A^{ 2}\ gånger B^{2}\ gånger C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[fyra]

En väsentlig del av problemen med aritmetisk kombinatorik kan uttryckas genom följande formulering av frågan.

Låt — något fält (antingen oändligt eller tillräckligt stort från en given familj av ändliga), — rationella uttryck, och åtminstone ett av dem använder eller och åtminstone ett eller . ${\mathbb {F} }$ ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n))$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Låt också för vissa och sätter relationerna $N$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {F} ))$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\ j=1,\dots ,k

|R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})|=N^{\beta _{i)),\ i=1,\dots ,n

E_{R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\ i=1,\dots ,n

Fråga

Hur beror uppsättningen av möjliga värden på ? $N\till \infty$ $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k},\beta _{1},\dots ,\beta _{k},\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ ${\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots ,R_{n))$

Notera

Om fältet är ändligt är det lämpligt att komplettera uppsättningen med parametern , där . [5] $(\alpha _{1},\dots ,\gamma _{n})$ $\varepsilon$ ${\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon ))$

Summaprodukthypotesen säger till exempel att om , , , då (här ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ $k=1,\ n=2$

Som regel visar det sig att härleda linjära samband mellan kvantiteter , det vill säga ojämlikheter mellan produkter och krafter av olika kvantiteter . ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\gamma _{n))$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\dots ,A_{ k})}$

Vissa resultat

Om generaliseringen av summor och produkter:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\ \forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\exists c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\Rightarrow |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[tio]

{\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtrsim |A|^{2+{\frac {1}{8))))

[elva]

Om generaliseringen av energier:

${\displaystyle E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B))$ [12]

för alla om , då och för [13] $k\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k)))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac {|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\to {\frac {1}{2))$ $k\to\infty$

Skifter

Uttalande av frågan

Idén att utvärdera rationella uttryck som kombinerar olika operationer kommer från det faktum att applicering av en additiv operation på en uppsättning berövar den dess multiplikativa struktur. Samma princip kan utvidgas till fallet när mängden ändras inte genom en komplex kombinatorisk operation av element-för-element-addition, utan genom en vanlig additiv skiftning - genom att lägga till ett nummer till alla element i mängden. Det förväntas att detta kommer att ändra den multiplikativa strukturen för mängden i de flesta fall (till exempel om , då för vissa för alla eller nästan alla ). [fjorton] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Fråga

När det gäller en fast (men godtycklig) multiplikativ egenskaper (storleken på mängden produkter och den multiplikativa energin) av mängderna beror på varandra . Och även vilka är de gemensamma multiplikativa egenskaperna för mängder för olika (finns det till exempel icke-triviala uppskattningar på )? $A\subset {\mathbb {F} }$ $A+u,\ u\in {\mathbb {F} }$ ${\displaystyle A+u_{1},\dots ,A+u_{k))$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{k))$ $|A(A+1)|$

Vissa resultat

om det är enkelt , då: ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $sid$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Högerpil |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [femton]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Högerpil |A(A+1)|\gtrsim |A|^{11/9-o(1)))$ [16]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Rightarrow E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [arton]

${\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtrsim |A|^{6))$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtrsim|A|^{111}$ [tjugo]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\höger\rbrace \gg |A|^{b(k)}$ , där vid [21] $b(k)\to \infty$ $k\in \infty$

Polynom

Uttalande av frågan

Idén om att kombinera addition och multiplikation leder naturligtvis till övervägande av polynom , det vill säga samma rationella uttryck, men där en variabel kan förekomma flera gånger (och därmed ha en mer komplex effekt på strukturen av den resulterande uppsättningen) . Det visar sig att i det här fallet, för att säkerställa ovillkorlig tillväxt, är det inte nödvändigt att använda tre kopior av uppsättningen (som i uttrycket ), men det räcker att välja önskat polynom i två variabler. [22] Bourgain märkte först en sådan egenskap för polynomet . [23] $A+AA$ $x^{2}+xy$

Dessutom, i analogi med summaproduktsatsen, studeras nedre gränser för godtyckliga polynom . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $f$

Vissa resultat

Bourgains första resultat: om . Då är det sant för vissa $A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)$ $\varepsilon =\varepsilon (\alpha )>0$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

När man jämför och är polynomets degeneration av stor betydelse . Om det är degenererat, det vill säga vi representerar det som , där finns polynom och , då båda summorna kan visa sig vara små om är en aritmetisk progression, eftersom . Därför formuleras resultaten endast för icke-degenererade polynom: $|A+A|$ $|f(A,A)|$ $f$ $f=g(l(x,y))$ $l,g$ $\deg l=1$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

om , då [25] $\deg f=2$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Högerpil \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

om , då [26] $\deg f=d$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lbrace {{\frac {|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac {p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}}\right\rbrace$

Matrismultiplikation

Egenskaper

Det finns resultat om produktuppsättningarna för en uppsättning matriser från en eller annan matrisundergrupp (till exempel eller Heisenberggruppen ). Strängt taget gäller dessa resultat en enda gruppoperation ( matrismultiplikation ), så att de kan hänvisas till som additiv kombinatorik . Men sammansmältningen inom definitionen av denna operation av både addition och multiplikation av element [27] , såväl som den icke-kommutativitet som härrör från detta, gör dess egenskaper mycket atypiska jämfört med vanliga gruppoperationer, såsom addition av reella tal. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })$

Till exempel kan en uppsättning matriser ofta växa genom att multiplicera sig själv under mycket enkla förhållanden (stor storlek, begränsning av enskilda element eller skillnad från undergrupper).

Vissa resultat

De flesta av resultaten om matrisgrupper, när de handlar om godtyckliga uppsättningar av matriser, analyserar värdet av , inte . Detta är inte en olycka, utan en teknisk nödvändighet förknippad med icke-kommutativitet. [28] $|AAA|$ $|AA|$

om , då för mängden matriser (den ligger i Heisenberg-gruppen) är det sant att , där [29] $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lbrace {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

let genererar hela gruppen och . Sedan [30] $A\subset {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\ a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (för andra grupper är en liknande uppskattning möjlig, beroende på dimensionen av dess representationer ) [31]

om och , då är strukturen starkt relaterad till undergrupper (denna koppling kan uttryckas i termer av ) [32] $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Applikationer

Analytiska metoder för att studera tillväxt i en grupp och Chevalley-grupper kan användas för att härleda en speciell form av Zaremba-förmodan . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Se även

Referenser

P. Erdös, E. Szemeredi. Om summor och produkter av heltal (engelska) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - S. 213-218 .

Oliver Roche-Newton, Imre Z. Ruzsa, Chun-Yen Shen, Ilya D. Shkredov. På setets storlek . - 2018. - arXiv : 1801.10431v1 . $AA+A$

Oliver Roche-Newton, Ilya D. Shkredov. Om är liten är superkvadratisk . - 2019. - arXiv : 1810.10842v2 . $A+A$ $AAA$

Antal Balog. En notering om summa-produktuppskattningar (engelska) // Publicationes mathematicae. - 2011. - Vol. 79 , iss. 3 . - doi : 10.5486/PMD.2011.5104 .

M.Z. Garaev. Summor och produkter av mängder och uppskattningar av rationella trigonometriska summor i fält av prime ordning // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 2010. - T. 65 , nr. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10.4213 / rm9367 . (ryska)

Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. På additiv bas av set med liten produktsats . - 2016. - arXiv : math/1606.02320 .

A. A. Glibichuk. Kombinatoriska egenskaper hos rester sätter modulo ett primtal och Erdős-Graham-problemet // Matematiska anteckningar . - 2006. - T. 79 , nr. 3 . — S. 384–395 . (ryska)

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. På itererade produktset med skift . - 2018. - arXiv : 1801.07982v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. På itererade produktsatser med skift II . - 2018. - arXiv : math/1806.01697v1 .

Sophie Stevens, Frank de Zeeuw. En förbättrad punktlinjeincidens bunden över godtyckliga fält // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2017. - Vol. 49 , iss. 5 . - doi : 10.1112/blms.12077 . - arXiv : 1609.06284 .

Audie Warren. Om produkter av skift i godtyckliga fält . - 2019. - arXiv : 1812.01981v2 .

Antal Balog, Oliver Roche-Newton, Dmitry Zhelezov. Expanders with Superquadratic Growth // The electronic journal of combinatorics. - 2016. - Vol. 24 , iss. 3 . - doi : 10.37236/7050 . - arXiv : 1611.05251v1 .

I. D. Shkredov. Några anmärkningar om uppsättningar med liten kvot // Matematisk samling. - 2017. - T. 208 , nr. 12 . doi : 10.4213 / sm8733 . - arXiv : 1603.04948v2 . (ryska)

Bryce Kerr, Simon Macourt. Multilinjära exponentiella summor med en allmän viktklass . - 2019. - arXiv : 1901.00975v2 .

Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilya D. Shkredov. På populära summor och skillnader av set med små produkter . - 2019. - arXiv : 1911.12005v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev. Högre konvexitet och itererade summamängder . - 2020. - arXiv : 2005.00125v1 .

I. D. Shkredov. Flera nya resultat om högre energier // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - T. 74 , nr. 1 . (ryska)

J. Bourgain. Mer om fenomenet summaprodukt i primära fält och dess tillämpningar // International Journal of Number Theory. - 2005. - Vol. 1 , iss. 1 . - doi : 10.1142/S1793042105000108 .

Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu. Expanderare med fyra variabler över de främsta fälten // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2018. - Vol. 146 , iss. 12 . - doi : 10.1090/proc/14177 . - arXiv : 1705.04255 .

Van Vu. Summa-produktuppskattningar via riktade expanderare // Mathematical Research Letters. - 2007. - Vol. 15 , iss. 2 . - doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14 . - arXiv : 0705.0715 .

Ilya D. Shkredov. Några anmärkningar om produkter från uppsättningar i Heisenberggruppen och i affingruppen . - 2019. - arXiv : 1907.03357 .

Misha Rudnev, Ilya D. Shkredov. På tillväxttakt i , den affina gruppen och summa-produkttyp implikationer . - 2019. - arXiv : 1812.01671v3 . ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

H.A. Helfgott. Tillväxt på (engelska) . - 2009. - arXiv : 0807.2027 . ${\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })$

Nikolay Nikolov, Lászlo Pyber. Produktuppdelningar av kvasirandoma grupper och en Jordan-typsats // Journal of the European Mathematical Society. - 2007. - Vol. 13 , iss. 4 . - doi : 10.4171/JEMS/275 . — arXiv : 0703343 .

Nikolay G. Moshchevitin, Ilya D. Shkredov. På en modulär form av Zarembas gissning . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Ilya D. Shkredov. Tillväxt i Chevalley-grupper relativt paraboliska undergrupper och vissa applikationer . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .

Anteckningar

↑ Det omvända är inte sant - eftersom ordet "tillsats" är bildat från engelskan. tillägg (tillägg), dess användning är definitivt inte lämplig för ämnet för denna artikel. Till exempel nämner Green , i en recension av Taos monografi , när han börjar prata om summa-produktsatsen, att han avviker från definitionen av additiv kombinatorik ("Även om jag skyr en definition av additiv kombinatorik ... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , anmärkning efter sats 1.5
↑ Beteckningen , som används nedan, är inte allmänt accepterad. $E_{AB+C}$
↑ Se förklaring om exemplet med summaproduktsatsen i Garaev, 2010 (sats 1.1 och kommentaren omedelbart efter den)
↑ Balog, 2011 .
↑ Utdrag ur rapporten av S. V. Konyagin
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , konsekvens 2
↑ , för detaljer se Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 $c>2^{-222}$
↑ , för detaljer se Roche-Newton, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , mening 12
↑ Kerr, Macourt, 2019 , följd 2.11
↑ Det omvända, generellt sett, är inte sant: en multiplikativ förskjutning kanske inte ändrar mängdens additiva egenskaper på något sätt. Om är en aritmetisk progression och , sedan för alla . Men ibland visar det sig att man använder liknande idéer - se till exempel Lemma 2 i Glibichuk, 2006 , där, när man bevisar en analog till Warings problem i ett ändligt fält, formuleras ett liknande uttalande i termer av gemensam additiv energi om existensen. av det nödvändiga skiftet. ${\displaystyle A\subset {\mathbb {R} }_{+))$ $k\cdot A=\{ka\ :\ a\in A\}$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , utredning 10
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , konsekvens 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , sats 12
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , sats 4.1
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ Polynom, på ett eller annat sätt kopplade till tillväxten av en mängd, kallas ofta expanderare i litteraturen.
↑ Se avsnitt 5.2 i Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , sats 2.1 (se även den ryska versionen i Garaev, 2010 , sats 5.2)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , sats 1.10
↑ Vu, 2007 , sats 1.2
↑ Alla element i produkten av matriser är faktiskt ett polynom i elementen i de multiplicerade matriserna
↑ Se not i Helfgott, 2009 , fotnot på sid. 3, liksom det faktum att Plünnecke-Rouge-ojämlikheten i icke-kommutativa grupper har en speciell form.
↑ Shkredov, 2019 , sats 2
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , sats 2
↑ Se Nikolov, Pyber, 2007 , mening 2 och anmärkning i Helfgott, 2009 i början av avsnitt 1.3.1
↑ Helfgott, 2009 , Sats 1.1
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkredov, 2020 .