Asymmetrisk attityd

En asymmetrisk relation i matematik är en binär relation på en viss mängd som har följande egenskap av "icke-reciprocitet" för någon av dem [1] : om denna relation är kopplad till så är den inte kopplad till . Formell notation: $R$ $x,$ $a,b$ $X$ $a$ $b,$ $b$ $a$

\forall a,b\in X(aRb\Rightarrow \lnot (bRa))

Ett exempel är förhållandet "mindre än" mellan reella tal : om , då är det omöjligt att samtidigt . Däremot är relationen "mindre än eller lika med" inte asymmetrisk, eftersom båda ojämlikheterna är sanna i fall: Ett annat exempel: relationen "att vara förälder". $x<y$ $y<x$ $x=y$ $x\leqslant y;\ y\leqslant x.$

Det följer av definitionen att för en icke-tom asymmetrisk relation är situationen omöjlig för något element . Sådana relationer kallas antireflexiva (i annan terminologi, irreflexiva ). $R$ $aRa$ $a.$

Den asymmetriska antipoden är den symmetriska relationen , för vilken relationen alltid är ömsesidig: om då Den enda binära relationen som är både symmetrisk och asymmetrisk är den tomma relationen . $aRb,$ $bRa.$

Man bör inte blanda ihop det asymmetriska och antisymmetriska förhållandet - det senare utesluter inte möjligheten och samtidigt, om ovan nämnda relation "mindre än eller lika med" är antisymmetrisk, men inte asymmetrisk. Allmän regel [2] : $aRb$ $b R a$ $a=b.$

En binär relation är asymmetrisk om och bara om den är antisymmetrisk och även antireflexiv.

Egenskaper

Om en relation är asymmetrisk, är dess omkastning och kontraktion också asymmetriska. Till exempel är begränsningen av den verkliga relationen "mindre än" till heltal asymmetrisk, och så är dess omkastning - relationen "större än". $R$
En transitiv relation är asymmetrisk om och endast om den är antireflexiv [3] . I själva verket, och i kraft av transitiviteten, innebär det varifrån det är klart att "ömsesidiga relationer" är omöjliga. $aRb$ $b R a$ $aRa,$
- Följd: En relation är transitiv och asymmetrisk om och endast om det är en strikt partiell ordning .
Inte alla asymmetriska relationer representerar en strikt partiell ordning. Exempel: Ett sten-papper-sax- förhållande är asymmetriskt men inte transitivt (inte ens "anti-transitivt"):
- om han övervinner , så segrar han inte $x$ $y$ $y$ $x;$
- om han övervinner och segrar , då segrar han inte . $x$ $y$ $y$ $z,$ $x$ $z$
En asymmetrisk relation behöver inte vara fullständig [ , det vill säga det finns ingen garanti för att för något par av element , eller håller . $x,y$ $xRy$ $yRx.$ $X$

Applikation

Se till exempel Tarskis axiomatik för reella tal - ett av axiomen i den kräver asymmetri i förhållandet " mindre än ".

Anteckningar

↑ Gries, David & Schneider, Fred B. (1993), A Logical Approach to Discrete Math , Springer-Verlag, sid. 273 .
↑ Nievergelt, Yves (2002), Grunder för logik och matematik: tillämpningar för datavetenskap och kryptografi , Springer-Verlag, sid. 158 .
↑ Flaška, V.; Flaška, V.; Jezek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (engelska) . - Prag: School of Mathematics - Physics Charles University, 2007. - P. 1. Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Hämtad 2 september 2018. Arkiverad från originalet 2 november 2013. (obestämd) Lemma 1.1(iv). Observera att denna källa hänvisar till asymmetriska relationer som "strikt antisymmetriska".

Litteratur

Aleskerov F. T., Khabina E. L., Shvarts D. A. Binära relationer, grafer och kollektiva lösningar. - M . : Läroböcker från Högre Handelshögskolan, 2006. - 300 sid.

Länkar

Skillnaden mellan asymmetrisk och antisymmetrisk relation