Asymptot

Asymptote , eller asymptote [1] (från annan grekisk ἀσύμπτωτος - icke-sammanfallande, rör inte en kurva med en oändlig gren) - en rät linje med egenskapen att avståndet från en punkt på kurvan till denna räta linje tenderar till noll när punkten tas bort längs med grenen till oändlighet [2] . Termen dök först upp i Apollonius av Perga , även om hyperbelns asymptoter studerades av Arkimedes [3] .

Typer av asymptoter av grafer

Vertikal

Formens räta linje är en vertikal asymptot om minst en av likheterna är uppfylld: $x=a$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ .

Det kan finnas hur många vertikala asymptoter som helst.

Linjen kan inte vara en vertikal asymptot om funktionen är kontinuerlig vid . Därför bör vertikala asymptoter sökas vid funktionens diskontinuitetspunkter. $a$

Horisontell och snedställd

En sned asymptot är en rak linje av formen om minst en av likheterna är uppfylld: $y=kx+b$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$ .

Dessutom, om det första villkoret är uppfyllt, då säger de att denna linje är en asymptot vid , och om den andra, då en asymptot vid [4] . $x \till + \infty$ $x \till - \infty$

Om , då kallas asymptoten också horisontell . $k=0$

Notera 1: Antalet sneda asymptoter för en funktion kan inte vara mer än två: en för och en för , men den kan ha en eller ingen alls. $x \till + \infty$ $x \till - \infty$

Not 2: Vissa källor inkluderar kravet att kurvan inte skär denna linje i närheten av oändligheten [5] .

Not 3: I vissa fall, såsom algebraisk geometri, definieras en asymptot som en rät linje som är "tangent" mot kurvan vid oändligheten [5] .

Hitta asymptoter

Ordningen för att hitta asymptoter

Att hitta diskontinuitetspunkter, välja punkter där det finns en vertikal asymptot (genom direkt verifiering att gränsen vid denna punkt är oändlighet).
Kontrollera om gränserna och inte är ändliga . Om så är fallet finns det en horisontell asymptot för respektive . $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$ $y=b$ $+\infty$ $-\infty$
Hitta två gränser $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Hitta två gränser , om minst en av gränserna i punkt 3 eller 4 inte existerar (eller är lika med ), så existerar inte den sneda asymptoten vid (eller ). $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ $\pm\infty$ $x \till + \infty$ $x \till - \infty$

Sned asymptot - val av heltalsdelen

Den sneda asymptoten kan också hittas genom att extrahera heltalsdelen. Till exempel:

Givet en funktion . $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1))$

Om vi dividerar täljaren med nämnaren får vi : $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2} {x^{2}+1}}$

Vid , , $x\to \pm \infty$ $\frac{x+2}{x^2+1} \till 0$

och är den önskade sneda asymptotekvationen, och på båda sidor. $y=2x+5$

Egenskaper

Bland koniska sektioner är det bara hyperboler som har asymptoter . Hyperbelns asymptoter som en konisk sektion är parallella med könens generatorer som ligger i planet som passerar genom konens spets parallellt med sekantplanet [6] . Den maximala vinkeln mellan hyperbelns asymptoter för en given kon är lika med konens öppningsvinkel och uppnås med ett sekantplan parallellt med konens axel.

Se även

Asymptotisk kurva

Anteckningar

↑ Dubbel stress anges i den sovjetiska encyklopediska ordboken. I ordböckerna från 1800- och första hälften av 1900-talet (till exempel i boken: Dictionary of Foreign Words / Redigerad av I.V. Lyokhin och Prof. F.N. Petrov. - M . : State Publishing House of Foreign and National. dictionaries, 1955. - s. 77. - 856 s. ), den enda varianten av stress "asymptoten" indikerades.
↑ Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary Arkivexemplar daterad 1 augusti 2013 på Wayback Machine - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 sid.
↑ Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 374-375. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ 1 2 "Asymptoter" av Louis A. Talman
↑ Taylor C. Geometriska koner; Inklusive anharmoniskt förhållande och projektion, med många exempel . - Cambridge: Macmillan , 1863. - s. 170.

Litteratur

Rashevsky P.K. Kurs i differentialgeometri, 4:e upplagan. M., 1956.
Grafer över funktioner: En handbok / Virchenko N. A., Lyashko I. I., Shvetsov K. I. - Kiev: Nauk. Dumka, 1979, - 320 sid.

Länkar

Asymptote // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Asymptote / E. G. Poznyak // Angola - Barzas. - M . : Soviet Encyclopedia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 2).