Betafunktion

I matematik är betafunktionen ( -funktion, Euler betafunktion eller Euler- integral av det första slaget) följande specialfunktion av två variabler: $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

definieras vid , . $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

Betafunktionen studerades av Euler , Legendre[ när? ] och namnet gavs till henne av Jacques Binet .

Egenskaper

Betafunktionen är symmetrisk med avseende på permutation av variabler, dvs.

\mathrm {B} (x,y)=\operatörsnamn {\mathrm {B} } (y,x).

Betafunktionen kan uttryckas i termer av andra funktioner:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

var är gammafunktionen ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatörsnamn {Re} x>0,\ \operatörsnamn {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operatörsnamn {Re} x>0,\ \operatörsnamn {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

där är den fallande faktorn lika med . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Precis som gammafunktionen för heltal är en generalisering av factorial , är betafunktionen en generalisering av binomialkoefficienter med något modifierade parametrar:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

Betafunktionen uppfyller den tvådimensionella skillnadsekvationen :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Derivater

De partiella derivatorna av betafunktionen är följande:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

var är digammafunktionen . $\psi(x)$

Ofullständig betafunktion

En ofullständig betafunktion är en generalisering av betafunktionen som ersätter intervallintegralen med en integral med en variabel övre gräns: $[0, 1]$