Bimetriska teorier om gravitation

Bimetriska gravitationsteorier är alternativa gravitationsteorier som använder två eller flera istället för en metrisk tensor . Ofta introduceras den andra metriken endast vid höga energier, under antagandet att ljusets hastighet kan bero på energin. De mest kända exemplen på bimetriska teorier är Rosen-teorin och den relativistiska gravitationsteorin (den senare i den kanoniska tolkningen ).

Rosens bimetriska teori

I allmän relativitetsteori antas avståndet mellan två punkter i rumtiden vara bestämt av en metrisk tensor . Einsteins ekvationer används sedan för att beräkna formen på metriken baserat på energifördelningen.

Nathan Rosen (1940) föreslog vid varje tidpunkt i rymdtiden att införa en euklidisk metrisk tensor utöver den riemannska metriska tensorn . Således får vi vid varje tidpunkt i rumstiden två mått: $g_{ij}$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$

{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j))

{\displaystyle d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j))

Den första metriska tensorn beskriver rumtidsgeometrin och därmed gravitationsfältet. Den andra metriska tensorn hänvisar till platt rum-tid och beskriver tröghetskrafter. Christoffel-symbolerna bildade av och kommer att betecknas med respektive . definiera på ett sådant sätt att $g_{ij}$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$ $g_{ij}$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$ ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Delta$

\Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}~~~~~~~~~~~~~ ~(1)

Nu finns det två typer av kovariansdifferentiering: -avledning baserad på - betecknas med semikolon (;), och 3-derledning baserad på - betecknas med / (vanliga partiella derivator betecknas med kommatecken (,)). och kommer att vara krökningstensorer beräknade från resp . Baserat på ovanstående tillvägagångssätt, i fallet när den beskriver ett platt rum-tidsmått, är krökningstensorn lika med noll. $g$ $g_{ij}$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$ ${\displaystyle R_{ij\sigma }^{\lambda ))$ ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda ))$ $g_{ij}$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$ ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda ))$

Det följer av (1) att även om de inte är tensorer, men är en tensor med samma form som , förutom att den vanliga partiella derivatan ersätts med en 3-kovariant derivata. En enkel beräkning leder till ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\))$ $\Gamma$ $\Delta$ ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\))$

R_{ijk}^{h}=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\ Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}

Varje term på höger sida av denna relation är en tensor. Man kan se att man kan gå från den allmänna relativitetsteorin till den nya teorin genom att ersätta med , den vanliga differentieringen med 3-kovariant differentiering, med , integrationselementet med , där , och . Det bör noteras att, så snart vi har introducerat i teorin, har vi ett stort antal nya tensorer och skalärer till vårt förfogande. Det är alltså möjligt att få fram fältekvationer som skiljer sig från Einsteins fältekvationer. ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\))$ $\Delta$ ${\sqrt {-g))$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\gamma ))))$ $d^{4}x$ ${\sqrt {-\gamma }}d^{4}x$ $g=det(g_{ij})$ $\gamma =det(\gamma _{ij})$ ${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4))$ ${\displaystyle \gamma _{ij))$

Ekvationen för den geodetiska i bimetrisk relativitet (BRT) tar formen

{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}} =0~~~~~~~~~~~~~~(2)

Av ekvationerna (1) och (2) framgår att det kan anses som beskriver tröghetsfältet, eftersom det försvinner med hjälp av en lämplig koordinattransformation. Egenskapen att vara en tensor beror inte på några koordinatsystem, och därför kan det antas att den beskriver ett konstant gravitationsfält. $\Gamma$ $\Gamma$ $\Delta$ $\Delta$

Rosen (1973) fann bimetriska teorier som uppfyller ekvivalensprincipen. 1966 visade Rosen att införandet av en platt rumslig metrik inom ramen för den allmänna relativitetsteorin inte bara gör det möjligt för en att erhålla energimomenttätheten för gravitationsfältstensorn, utan också att man kan erhålla denna tensor från den variationella princip. Fältekvation i BTO härledd från variationsprincipen

K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_ {j}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(3)

var

N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }

eller

N_{j}^{i}=\gamma ^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}g_ {mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}),\beta \right\}-\gamma ^{\alpha \beta }(\Gamma _{j\alpha }^{i}),\beta +\Gamma _{\lambda \beta }^{i}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha -g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^ {m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }]-\Gamma _{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{h\lambda },\alpha -g^ {hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}]

+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{hj},\lambda -g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^ {m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}]

N=g^{ij}N_{ij},\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}},

och är energi-momentum-tensorn. Variationsprincipen leder också till kopplingen $T_{j}^{i}$

T_{j;i}^{i}=0.

Därför, från (3)

K_{j;i}^{i}=0,

vilket innebär att en testpartikel i ett gravitationsfält rör sig längs en geodetisk med avseende på . De fysiska konsekvenserna av en sådan teori skiljer sig dock inte från den allmänna relativitetsteorin. $g_{ij}$

Med ett annat val av initiala ekvationer skiljer sig bimetriska teorier och generell relativitet i följande fall:

Utbredning av elektromagnetiska vågor
Yttre fält av stjärnor med hög densitet
Utbredning av intensiva gravitationsvågor genom ett starkt statiskt gravitationsfält.

Länkar

N. Rosen. Allmän relativitet och platt utrymme. I (engelska) // Phys. Varv. : journal. - 1940. - Vol. 57 , nr. 2 . - S. 147-150 . - doi : 10.1103/PhysRev.57.147 .
N. Rosen. Allmän relativitet och platt utrymme. II (engelska) // Phys. Varv. : journal. - 1940. - Vol. 57 , nr. 2 . - S. 150-153 . - doi : 10.1103/PhysRev.57.150 .
N. Rosen. En bimetrisk gravitationsteori (engelska) // General Relativity and Gravitation : journal. - 1973. - Vol. 4 , nr. 6 . - s. 435-447 . - doi : 10.1007/BF01215403 . (inte tillgänglig länk)
N. Rosen. En bimetrisk teori om gravitation. II (engelska) // General Relativity and Gravitation : journal. - 1975. - Vol. 6 , nr. 3 . - S. 259-268 . - doi : 10.1007/BF00751570 . (inte tillgänglig länk)

Teorier om gravitation

Standardteorier om gravitation

Alternativa teorier om gravitation

Kvantteorier om gravitation

Enade fältteorier

klassisk fysik

Newtons gravitationsteori

Relativistisk fysik

Allmän relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principer

Klassisk

Relativistisk

Flerdimensionell

Strängar

Övrig

Den exceptionellt enkla teorin om allting

Kosmologi
Grundläggande begrepp och objekt	Universum observerbart universum Rödförskjutning kosmologiska CMB-strålning Gravitationsvågor Universums expansion accelererad dold massa Mörk materia mörk energi
Universums historia	Big Bang stor rekyl Kronologi av Big Bang Inflation Primär nukleosyntes Rekombination Evolution av galaxer Universums ålder Universums framtid
Universums struktur	Universums struktur i stor skala Superkluster av galaxer Stor grupp av kvasarer Galaktisk tråd Tomhet Hubble bubbla Universums form
Teoretiska begrepp	Historien om utvecklingen av idéer om universum Hubble lag Gravitationsinstabilitet Kosmologisk princip Kosmologiska modeller Kosmologisk singularitet De Sitter modell het universum modell Friedmans universum Ledsagaravstånd Kritisk densitet Friedmans ekvation Kosmologisk tillståndsekvation Lambda-CDM-modell
Experiment	Observationskosmologi 2dF 6dF Bumerang COBE SDSS WMAP Planck DES
Portal: Astronomi