Birational geometri

Birational geometri  är en gren av algebraisk geometri vars huvuduppgift är klassificeringen av algebraiska varieteter upp till birational ekvivalens [1] . Detta kokar ner till att studera avbildningar som ges av rationella funktioner , inte av polynom. Kartläggningen kanske inte definieras vid vissa punkter som är poler för en rationell funktion.

Birational mappningar

En rationell mappning från en ( irreducible ) sort X till en annan sort Y (skriven som en prickad pil X ⇢ Y ) definieras som en morfism från en icke-tom öppen delmängd U av sort X till Y. Enligt definitionen av Zariski-topologin , som används i algebraisk geometri, är en icke-tom öppen delmängd U alltid komplementet till en delmängd X med lägre dimension. Konkret kan en rationell mappning skrivas i koordinater med hjälp av rationella funktioner.

En birationell mappning från X till Y  är en rationell mappning f : X ⇢ Y så att det finns en rationell mappning Y ⇢ X invers till f . En birational karta genererar en isomorfism av en icke-tom öppen delmängd X till en icke-tom öppen delmängd Y . I det här fallet sägs X och Y vara birationellt ekvivalenta . I algebraiska termer är två varianter över ett fält k birationellt ekvivalenta om och endast om deras funktionsfält är isomorfa som förlängningar av fältet k .

Ett specialfall är en birationell morfism f : X → Y , vilket betyder en morfism som är birationell. Då definieras f på hela X , men dess invers kanske inte definieras på hela Y . Detta händer vanligtvis när en birational morfism krymper vissa subvarieteter av X till punkter i Y .

En variant X sägs vara rationell om den är rationellt ekvivalent med ett affint rum (eller, ekvivalent, ett projektivt rum ) av samma dimension. Rationalitet är en helt naturlig egenskap - det betyder att X utan någon delmängd av lägre dimension kan identifieras med ett affint utrymme utan någon delmängd av lägre dimension. Till exempel är cirkeln som definieras av ekvationen x 2 + y 2 − 1 = 0 en rationell kurva, eftersom formlerna

definiera en birational kartläggning av en linje till en cirkel. (Om vi ​​ersätter t med rationella tal får vi pythagoras trippel .) Den inversa kartan tar ( x , y ) till (1 − y )/ x .

Mer generellt är en jämn kvadratisk (grad 2) hyperyta X av valfri dimension n rationell med tanke på den stereografiska projektionen (för en kvadratisk variant X över ett fält k måste det antas att den har en k -rationell punkt Detta gäller automatiskt om k är algebraiskt stängt. ). För att definiera en stereografisk projektion, anta att p  är en punkt i X . Då ges en birational karta från X till ett projektivt rum P av n linjer genom p av en karta från en punkt q i X till en linje genom p och q . Denna mappning är en birationell ekvivalens, men inte en mångfaldig isomorfism, eftersom den inte är definierad för q = p (och den inversa mappningen är inte definierad för linjer genom p och som ligger i X ).

Minimimodeller och upplösningsfunktioner

Vilken algebraisk variant som helst är birationellt ekvivalent med en projektiv variant ( Chows lemma ). Således, för en birational klassificering, är det tillräckligt att endast arbeta med projektiva varianter, och detta är det vanligaste antagandet.

Mycket djupare, enligt Hironakis singularitetsupplösningsteorem —  över ett fält med karakteristisk 0 (som de komplexa talen) är vilken sort som helst birationellt ekvivalent med en jämn projektiv varietet. Med detta i åtanke räcker det att klassificera jämna projektiva varieteter upp till birational ekvivalens.

I dimension 1, om två jämna projektiva kurvor är birationellt ekvivalenta, är de isomorfa. Detta är dock inte fallet i dimensionerna 2 och högre på grund av uppblåsningskonstruktionen . När den sprängs upp är varje mjuk projektiv variant av dimension 2 eller mer birationellt ekvivalent med ett oändligt antal "större" varianter, till exempel de med större Betti-tal .

Detta leder till idén om minimala modeller  — finns det en enda enklaste variant i varje rationell ekvivalensklass? Den moderna definitionen av en minimal modell är att en projektiv variant X är minimal om den kanoniska linjebunten K X har icke-negativ grad på någon kurva i X . Med andra ord, K X är en nef-bunt . Det är lätt att kontrollera att svullna grenrör aldrig är minimala.

Denna idé fungerar bra för algebraiska ytor (varianter av dimension 2). I moderna termer var det centrala resultatet av den italienska skolan för algebraisk geometri 1890-1910, en del av klassificeringen , det faktum att vilken yta X som helst är birationellt ekvivalent med antingen produkten P 1  ×  C för någon kurva C eller en minimal yta Y [2] . Dessa två fall utesluter varandra och Y är unikt om det finns. Om Y finns, kallas den minsta ytmodellen av X.

Birational invarianter

För det första är det inte helt klart hur man visar att någon icke-rationell algebraisk yta existerar. För att bevisa detta måste vi använda några invarianter av algebraiska varianter.

En användbar uppsättning birationalinvarianter är pluralsläktena . Den kanoniska bunten ett jämnt grenrör X med dimensionen n är linjeknippet n - former K X = Ω n , vilket är den n :te yttre potensen av det kanoniska buntet grenröret X . För ett heltal d är den d: te tensorpotentialen för K X återigen en linjebunt. För d ≥ 0 har vektorrummet för globala sektioner H 0 ( X , K X d ) den anmärkningsvärda egenskapen att en birational kartläggning f : X ⇢ Y mellan jämna projektiva varieteter genererar en isomorfism H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) [3] .

För d ≥ 0 definierar vi det d: te flertalet P d som dimensionen av vektorrummet H 0 ( X , K X d ). Plurigenerna är då birationalinvarianter av jämna projektiva varianter. I synnerhet, om någon plurirod P d inte är lika med noll för d > 0, så är X inte en rationell variant.

Den grundläggande birationella invarianten är Kodaira-dimensionen , som mäter tillväxten av pluraliteterna P d som d tenderar mot oändligheten. Kodaira-dimensionen delar upp alla varianter av dimension n i n + 2 typer med Kodaira-dimensioner −∞, 0, 1, …, n . Denna invariant visar komplexiteten hos grenröret, medan det projektiva rummet har Kodaira-dimensionen −∞. De mest komplexa grenrören är de vars Kodaira-dimension är densamma som rymddimensionen n , och dessa grenrör kallas grenrör av allmän typ .

Mer generellt är varje naturlig direkt summering E (Ω 1 ) av den r: te tensorkraften för den cotangenta strängen Ω 1 med r ≥ 0, vektorrummet för globala sektioner H 0 ( X , E (Ω 1 )) en birational invariant för släta projektiva sorter. Speciellt är Hodge-talen h r ,0 = dim H 0 ( X , Ω r ) birationalinvarianter av X . (De flesta av de andra Hodge-talen h p, q är inte birationalinvarianter, vilket visas av uppblåsningen .)

Grundgruppen π 1 ( X ) är en birational invariant för jämna komplexa projektiva varieteter.

Den "svaga faktoriseringssatsen" som bevisats av Abramovich, Karu, Matsuki och Wlodarczyk [4] säger att varje birational kartläggning mellan två släta komplexa projektiva varieteter kan brytas upp i ett ändligt antal utblåsningar eller avblåsningar av jämna undervarieteter. Detta är viktigt att veta, men det är fortfarande en svår uppgift att avgöra om två jämna projektiva varianter är birationellt likvärdiga.

Minimala modeller i höga dimensioner

En projektiv variant X kallas minimal om den kanoniska bunten K X är en nef-bunt . För X av dimension 2 räcker det att överväga släta grenrör. I dimension 3 och uppåt måste minimala sorter tillåtas ha några svaga singulariteter för vilka K X förblir väluppfostrade. De kallas terminalfunktioner .

Giltigheten av den minimala modellförmodan skulle dock innebära att vilken sort X som helst täcks av rationella kurvor eller är birationellt ekvivalent med en minimal sort Y . Om den finns kallas Y den minimala modellen av X .

Minimala modeller är inte unika i dimensioner 3 och uppåt, men alla två minimala birationalvarianter är väldigt nära. Till exempel är de isomorfa utanför delmängder av kodimension 2 och högre, och mer exakt är de sammankopplade med en sekvens av vändningar . Så den minimala modellförmodan skulle ge viktig information om birationell klassificering av algebraiska varianter.

Mori bevisade gissningen för dimension 3 [5] . Det finns många framsteg i högre dimensioner, även om huvudproblemet fortfarande är öppet. Speciellt Birkar, Cassini, Hakon och McKernan [6] bevisade att alla varianter av allmän typ över ett fält med karakteristisk 0 har en minimal modell.

Unilined grenrör

Ett grenrör kallas uninolinet om det är täckt av rationella kurvor. En olinjär sort har inte en minimal modell, men det finns ett bra substitut - Birkar, Cassini, Hakon och McKernan visade att varje ofodrad sort över ett fält med karakteristisk noll är en birational Fano-fibrering [7] . Detta leder till problemet med birational klassificering av Fano-fibrationer och (som det mest intressanta fallet) Fano-sorter . Per definition är en projektiv variant X en Fano -variant om den antikanoniska kärven K X * är riklig . Fano-sorter kan anses ligga närmast projektiva utrymmen.

I dimension 2 är vilken Fano som helst trefaldig (känd som en del Pezzo-yta ) över ett algebraiskt slutet fält rationell. Huvudupptäckten på 1970-talet var att det, från och med dimension 3, finns många Fano-varianter som inte är rationella . I synnerhet är släta kubiska 3-veck, enligt Clemens och Griffiths [8] , inte rationella, och släta 3-veck av fjärde graden är inte rationella, enligt Iskovskikh och Manin [9] . Ändå är uppgiften att avgöra exakt vilka Fano-sorter som är rationella långt ifrån löst. Till exempel är det inte känt om det finns en icke-rationell slät kubisk hyperyta i Pn + 1 med n ≥ 4.

Grupper av birational automorfismer

Algebraiska varianter skiljer sig avsevärt i antalet birationala automorfismer. Varje variant av allmän typ är väldigt stel i den meningen att dess birationala automorfismgrupp är ändlig. Vid den andra ytterligheten är gruppen av birationella automorfismer i det projektiva rummet P n över ett fält k , känd som Cremona-gruppen Cr n ( k ), stor (av oändlig dimension) för n ≥ 2. För n = 2, är komplex Cremona-grupp Cr 2 ( C ) genereras av den "kvadratiska transformationen"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

tillsammans med automorfismgruppen PGL (3, C ) av P 2 , enligt Max Noether och Guido Castelnuovo . Däremot är Cremona-gruppen i dimension n ≥ 3 mycket mystisk, ingen explicit uppsättning generatorer är känd för det.

Iskovskikh och Manin [9] visade att gruppen av birationella automorfismer av fjärde ordningens släta hyperytor (quartics) av 3-grenrör är lika med dess automorfismgrupp, som är ändlig. I denna mening är fjärde ordningens tredimensionella varianter långt ifrån rationella, eftersom gruppen av birationella automorfismer av en rationell variation är enorm. Detta fenomen med "birational rigidity" har sedan dess upptäckts för många fiberrika Fano-utrymmen.

Anteckningar

  1. ↑ Dolgachev, Iskovskikh, 1977 , sid. 463.
  2. ↑ Kollár, Mori, 1998 , sid. Sats 1.29.
  3. ↑ Hartshorne, 1977 , sid. Övning II.8.8.
  4. ↑ Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk, 2002 .
  5. ↑ Mori, 1988 .
  6. ↑ Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, 2010 .
  7. ↑ ( Birkar, Cascini, Hacon, McKernan 2010 ); Resultat 1.3.3 innebär att varje ofodrad sort med karakteristisk noll är birational till en Fano-fibrering, med det enkla faktum att en ofodrad sort X täcks av en familj av kurvor för vilka K X har en negativ grad. Detta påstående finns i Debarres bok ( Debarre 2001 ), Corollary 4.11 och Exempel 4.7(1).
  8. ↑ Clemens, Griffiths, 1972 .
  9. ↑ 1 2 Iskovskikh, Manin, 1971 , sid. 140-166.

Litteratur