Född approximation

Born approximation i spridningsteorin används för att beräkna spridningen av kvantpartiklar i första ordningen av störningsteorin .

Kriteriet för tillämpligheten av Born-approximationen är följaktligen kriteriet för tillämpligheten av störningsteorin. Så för spridningen av en massapartikel genom en potential som verkar på avstånd , är approximationen säkerligen tillämpbar om den potentiella energin är mycket mindre än nollpunktsenergin , dvs. . Om den inte är liten jämfört med , så blir approximationen tillämplig för en tillräckligt snabb partikel, för vilken den karakteristiska frekvensen för att vara i potentialfältet är mycket större än själva potentialen, d.v.s. när , var är de Broglie-våglängden för partikeln. $m\$ $V\$ $a\$ $E_{0}\$ $V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\$ $V\$ $E_{0}\$ $V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\$ $\lambda\$

För differentialspridningstvärsnittet ( tvärsnitt in i det rymda vinkelelementet ) av en partikel med en förändring i momentum i Born-approximationen, får man: $d\Omega$ $\hbar {\vec {q}}\$

d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e ^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,

var är den reducerade massan . $\mu$

Detta resultat erhålls enklast från övergångssannolikheten i det kontinuerliga spektrumet av plana vågor :

w_{{p'p))={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{{p'p}}\right|^{2}\delta (E_{{p'}} -E_{p})d\nu _{{p'}}

var är tätheten av sluttillstånd. Genom att ersätta energin hos en fri partikel , beräkna matriselementet för potentialen i planvågsbasen och integrera över rörelsemängden för det spridda (slutliga) tillståndet , kommer vi omedelbart fram till Born-formeln. $\nu _{{p'}}\$ $E_{p}=p^{2}/(2m)\$ $\psi _{({\vec {p))))({\vec {r)))=e^{{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }}\$ $p'\$

Spridningsamplituden i Born-approximationen är verklig och har formen:

f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\ vec{r}}}d^{3}r.

Sålunda, i Born-approximationen, är spridningsamplituden Fouriertransformen av spridningspotentialen. Verkligheten för spridningsamplituden betyder litenheten i dess argument, det vill säga spridningsfasen . I Born approximationen har faserna för spridning av en centralt symmetrisk potential i tillstånd med rörelsemängd formen: $\hbar {\sqrt {l(l+1)))$

\delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{{l+{\frac {1}{2))))(qr))^{ 2}rdr,

var är Bessel-funktionen . $J_{{l+{\frac {1}{2}}}}(qr)$

Litteratur

Davydov A. S. Kvantmekanik. — M .: Nauka, 1973. — 704 sid.
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk uppslagsverk . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 sid. — ISBN 5-85270-034-7 .