Fouriertransform

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 januari 2022; kontroller kräver 10 redigeringar .

Fouriertransform

Kort namn/titel	MED
Döpt efter	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Formel som beskriver en lag eller teorem	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [ett]
Beteckning i formeln	${\mathcal {F}}f$ , , och $f$ $\omega$ $\mathrm {e}$
tillbaka till	invers Fouriertransform [d]
Mediafiler på Wikimedia Commons

Fouriertransformen (symbol ℱ ) är en operation som mappar en funktion av en reell variabel till en annan funktion av en reell variabel. Denna nya funktion beskriver koefficienterna ("amplituderna") när den ursprungliga funktionen sönderdelas i elementära komponenter - harmoniska svängningar med olika frekvenser

Fouriertransformen av en funktion av en reell variabel är integral och ges av följande formel: $f$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Olika källor kan ge definitioner som skiljer sig från ovanstående genom att välja en faktor framför integralen (den så kallade normaliseringsfaktorn , som syftar på frågan om normalisering av Fouriertransformen ), samt "−"-tecknet i exponenten . Men oavsett sådana variationer kommer alla egenskaper att förbli giltiga, även om formen på vissa formler kan ändras.

Den allmänna formeln för alla varianter av definitionen av Fouriertransformen med parametrar och ser ut $a$ $b$

{\hat {f))(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))))\int \limits _ {-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.

Den omvända transformationen definieras enligt följande

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

När man väljer och eller formlerna blir särskilt enkla, försvinner normaliseringsfaktorerna i dem och formlerna skiljer sig endast i gradens tecken, vilket resulterar i att de flesta av formlerna nedan förenklas till konstanta konstanter. $a=0$ $b=2\pi$ $b=-2\pi$

Dessutom finns det olika generaliseringar av detta begrepp (se nedan).

Egenskaper

Även om formeln som definierar Fouriertransformen har en tydlig betydelse endast för funktioner i klassen $L_{1}(\mathbb{R} )$ , kan Fouriertransformen definieras för en bredare klass av funktioner och till och med generaliserade funktioner . Detta är möjligt på grund av ett antal egenskaper hos Fouriertransformen:

Fouriertransformen är en linjär operator :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

Parseval- likheten är sann : om , så bevarar Fourier-transformen -normen: $f\in L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{ \hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Denna egenskap gör det möjligt att utöka definitionen av Fouriertransformen till hela utrymmet genom kontinuitet . Parsevals jämlikhet kommer då att gälla för alla . $L_{2}(\mathbb{R} )$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Behandlingsformel :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega) e^{ix\omega }\,d\omega

är giltigt om integralen på höger sida är vettig. I synnerhet gäller detta om funktionen är tillräckligt smidig. Om , då är formeln också sann, eftersom Parsevals likhet gör det möjligt att förstå integralen på höger sida genom att gå till gränsen. $f$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Denna formel förklarar den fysiska innebörden av Fouriertransformen: den högra sidan är den (oändliga) summan av harmoniska svängningar med frekvenser , amplituder och fasförskjutningar , respektive. $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Konvolutionsteorem : om då $f,\;g\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, var

(f\ast g)(t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Denna formel kan också utvidgas till fallet med generaliserade funktioner.

Fouriertransform och differentiering . Om , då $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

Från denna formel kan formeln för den -th derivatan lätt härledas: $n$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Formlerna är också sanna när det gäller generaliserade funktioner.

Fourier Transform och Shift .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).

Denna och föregående formel är specialfall av faltningssatsen, eftersom skift för argument är faltning med den förskjutna deltafunktionen , och differentiering är faltning med derivatan av deltafunktionen. $\delta (x-x_{0})$

Fouriertransform och sträckning .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Poisson summeringsformel :

\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)

Fouriertransform av generaliserade funktioner . Fouriertransformen kan definieras för en bred klass av generaliserade funktioner. Låt oss först definiera utrymmet för smidiga snabbt minskande funktioner ( Schwartz space ):

S({\mathbb R}):=\left\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.

Nyckelegenskapen för detta utrymme är att det är ett invariant delrum med avseende på Fouriertransformen.

Låt oss nu definiera dess dubbla utrymme . Detta är ett delrum i utrymmet för alla generaliserade funktioner - de så kallade generaliserade funktionerna för långsam tillväxt. Nu, för en funktion, är dess Fouriertransform en generaliserad funktion som verkar på huvudfunktionerna enligt regeln $S^{*}(\mathbb{R})$ $f\in S^{*}(\mathbb{R})$ ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb{R} )$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

Låt oss till exempel beräkna Fouriertransformen av deltafunktionen :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi ))\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Fouriertransformen av deltafunktionen är således en konstant . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Osäkerhetsprincipen

Generellt sett gäller att ju större koncentrationen f ( x ) är, desto mer spridd måste dess Fouriertransform f̂ ( ω ) vara . Speciellt kan skalningsegenskapen för Fouriertransformen representeras på följande sätt: om en funktion komprimeras x gånger så sträcks dess Fouriertransform med ω gånger. Det är omöjligt att godtyckligt koncentrera både en funktion och dess Fouriertransform.

Avvägningen mellan förtätningen av en funktion och dess Fourier-transform kan formaliseras som osäkerhetsprincipen , med tanke på funktionen och dess Fourier-transform som konjugerade variabler med avseende på den tids-frekvens- symplektiska formen : ur den linjära synvinkeln. kanonisk transformation , Fouriertransformen är en 90° rotation i tids-frekvensdomänen och bevarar den symplektiska formen.

Antag att f ( x ) är en integrerbar och kvadratintegrerbar funktion. Då uttrycks normen som

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.

Det följer av Plancherels sats att f̂ ( ω ) också är normaliserad.

Spridningen runt det förväntade värdet kan mätas med variansen , definierad som $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty } (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

När det gäller sannolikhet är detta det centrala andra momentet i funktionen . ${\displaystyle |f(x)|^{2))$

Osäkerhetsprincipen säger att om f ( x ) är absolut kontinuerlig och funktionerna x f ( x ) och f ′( x ) är kvadratintegrerbara, då

{\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)))^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

där normaliseringsfaktorn före Fouriertransformen är , när normaliseringsfaktorn är lika, blir det högra uttrycket . Extraherar rötterna från båda uttrycken blir det högra uttrycket respektive bestämmer halva bredden på fönstret ( standardavvikelse ). $ett$ ${\frac {1}{2\pi ))$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {1}{4\pi }}$ ${\frac {1}{2))$ $\Delta$

Jämlikhet uppnås endast om

{\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2)){\sigma ^{2))))\\\ därför {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}

där σ > 0 är godtycklig och så att f är L 2 -normaliserad. Med andra ord, där f är en (normaliserad) Gaussfunktion med varians σ 2 , centrerad vid noll, och dess Fouriertransform är en Gaussisk funktion med varians σ -2 . ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)){\sqrt {\sigma ))))$

Faktum är att denna ojämlikhet innebär att:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

för valfri x 0 , ω 0 ∈ R .

Inom kvantmekaniken är vågfunktionens momentum och position par av Fouriertransformer upp till Plancks konstant . Med denna konstant korrekt redovisad blir ojämlikheten ovan ett uttalande av Heisenbergs osäkerhetsprincip .

En starkare osäkerhetsprincip är Hirschmans osäkerhetsprincip , som uttrycks som:

H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f))\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)

där H ( p ) är differentialentropin för sannolikhetstäthetsfunktionen p ( x ) :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

där logaritmerna kan vara i valfri på varandra följande bas. Likvärdighet uppnås för den Gaussiska funktionen som i föregående fall.

Applikationer

Fouriertransformen används inom många vetenskapsområden - inom fysik , talteori , kombinatorik , signalbehandling , sannolikhetsteori , statistik , kryptografi , akustik , oceanologi , optik , geometri och många andra. Inom signalbehandling och relaterade fält ses Fouriertransformen vanligtvis som en nedbrytning av en signal till frekvenser och amplituder , det vill säga en reversibel övergång från tidsrum till frekvensrum . De rika applikationsmöjligheterna är baserade på flera användbara transformationsegenskaper:

Transformationerna är linjära operatorer och, med lämplig normalisering, enhetliga (en egenskap som kallas Parsevals teorem , eller mer allmänt som Plancherels teorem , eller mer allmänt som Pontryagins dualism ).
Transformationerna är reversibla, och den inversa transformationen har nästan samma form som den direkta transformationen.
Sinusformade basfunktioner (eller snarare komplexa exponentialer) är egenfunktioner för differentiering , vilket innebär att den givna representationen förvandlar linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter till vanliga algebraiska. (Till exempel, i ett linjärt stationärt system är frekvensen ett konservativt värde , så beteendet vid varje frekvens kan lösas oberoende).
Genom faltningssatsen förvandlar Fouriertransformen en komplex faltningsoperation till en enkel multiplikation , vilket innebär att de ger ett effektivt sätt att beräkna faltningsbaserade operationer som multiplikation av polynom och multiplikation av stora tal .
Den diskreta versionen av Fourier-transformen kan snabbt beräknas på datorer med algoritmen Fast Fourier Transform (FFT).

Sorter

Flerdimensionell transformation

Fouriertransformen av funktioner som ges på utrymmet definieras av formeln $\mathbb {R} ^{n}$

{\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Här och är rymdvektorer , är deras skalära produkt . Den omvända transformationen i detta fall ges av formeln $\omega$ $x$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Denna formel kan tolkas som att expandera funktionen till en linjär kombination ( superposition ) av formen " plana vågor " med amplituder , frekvenser respektive fasförskjutningar . Liksom tidigare kan definitionerna av den flerdimensionella Fouriertransformen i olika källor skilja sig åt i valet av en konstant framför integralen. $f$ $e^{{ix\cdot \omega }}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Anmärkningen om området för att specificera Fourier-transformen och dess huvudsakliga egenskaper förblir giltiga även i det flerdimensionella fallet, med följande förtydliganden:

Att ta partiella derivator under verkan av Fouriertransformen förvandlas till multiplikation med koordinaten med samma namn:

\widehat {{\frac {\partial f}{\partial x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

Konstanten i faltningssatsen ändras:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Fouriertransform och koordinatkompression:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Mer allmänt, om är en inverterbar linjär karta , alltså ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1}\omega ).

Fourier-serien

Den kontinuerliga transformationen i sig är i själva verket en generalisering av den tidigare idén om Fourier-serien , som definieras för periodiska funktioner och representerar expansionen av sådana funktioner till en (oändlig) linjär kombination av harmoniska svängningar med heltalsfrekvenser : $2\pi$

f(x)=\summa _{{n=-\infty }}^({\infty }}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

Fourier-seriens expansion är också tillämpbar på funktioner definierade på avgränsade intervall, eftersom sådana funktioner periodiskt kan utökas till hela linjen.

Fourierserien är ett specialfall av Fouriertransformen, om den senare förstås i betydelsen generaliserade funktioner . För alla -periodiska funktioner vi har $2\pi$

{\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega -n).

Fouriertransformen av en periodisk funktion är med andra ord summan av punktbelastningarna vid heltalspunkter och är noll utanför dem.

Diskret konvertering

Den diskreta Fouriertransformen är en transformation av finita sekvenser av (komplexa) tal, som, som i det kontinuerliga fallet, förvandlar faltning till punktvis multiplikation. Används i digital signalbehandling och andra situationer där du snabbt behöver utföra faltning, till exempel när du multiplicerar stora tal.

Låta vara en följd av komplexa tal. Låt oss betrakta ett polynom . Låt oss välja några punkter på det komplexa planet . Nu kan vi associera en ny uppsättning tal med ett polynom: . Observera att denna transformation är reversibel: för vilken uppsättning tal som helst finns det ett unikt gradpolynom som högst med sådana värden i respektive (se interpolation ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $n$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$ $med)$ $n$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{{n-1}}$ $med)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$

Uppsättningen och kallas den diskreta Fouriertransformen av den ursprungliga uppsättningen . Enhetens rötter väljs vanligtvis som punkter : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $n$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Detta val dikteras av det faktum att den inversa transformationen i detta fall tar en enkel form, och även av det faktum att beräkningen av Fourier-transformen kan utföras särskilt snabbt . Så, även om beräkning av faltningen av två längdsekvenser direkt kräver en operationsordning, kan gå till deras Fouriertransform och tillbaka med en snabb algoritm utföras i operationer. För Fouriertransformer motsvarar faltning komponentvis multiplikation, vilket endast kräver operationsordningen. $n$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $n$

Fönster

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

där ger frekvensfördelningen (i allmänhet något förvrängd) för den del av den ursprungliga signalen i närheten av tiden . $F(t,\;\omega )$ $med)$ $t$

Den klassiska Fouriertransformen behandlar spektrumet av en signal som tas över hela intervallet för existensen av en variabel. Ofta är det bara den lokala frekvensfördelningen som är av intresse, medan det krävs för att behålla den ursprungliga variabeln (vanligtvis tid). I det här fallet används en generalisering av Fouriertransformen - den så kallade windowed Fouriertransformen . Till att börja med är det nödvändigt att välja någon fönsterfunktion , och denna funktion måste ha ett vällokaliserat spektrum. $W$

I praktiken implementeras diskret spektralanalys i moderna digitala oscilloskop och spektrumanalysatorer . Det används som regel valet av ett fönster från 3-10 typer. Användningen av fönster är i grunden nödvändig, eftersom i verkliga enheter alltid undersöks ett visst snitt från signalen som studeras. I detta fall förvränger signaldiskontinuiteter på grund av skåran kraftigt spektrumet på grund av överlagringen av hoppspektra på signalspektrat.

Vissa spektrumanalysatorer använder snabb (eller kort tid) fönster. Med den delas en signal av en given varaktighet upp i ett antal intervall med hjälp av ett glidfönster av en eller annan typ. Detta gör det möjligt att erhålla, undersöka och bygga dynamiska spektra i form av spektrogram och analysera deras beteende i tid. Spektrogrammet är byggt i tre koordinater - frekvens, tid och amplitud. I detta fall ställs amplituden in av färgen eller nyansen av färgen på varje rektangel i spektrogrammet. Sådana spektrumanalysatorer kallas realtidsspektrumanalysatorer . Deras huvudtillverkare är Keysight Technologies Corporation ( USA ), Rohde & Schwarz (Tyskland), Tektronix (USA). Sådana analysatorer dök upp i slutet av förra seklet och utvecklas nu snabbt. Frekvensområdet för signalerna de studerar når hundratals gigahertz.

Dessa metoder för spektralanalys är också implementerade i datormatematiksystem, till exempel Mathcad , Mathematica , Maple och MATLAB .

Andra alternativ

Den diskreta Fouriertransformen är ett specialfall (och ibland används som en approximation) av den diskreta Fouriertransformen (DTFT), som definieras på diskreta men oändliga domäner, och därför är spektrumet kontinuerligt och periodiskt. Den tidsdiskreta Fouriertransformen är väsentligen inversen av Fourierserier. $x_k$

Dessa varianter av Fouriertransformen kan generaliseras till Fouriertransformerna av godtyckliga lokalt kompakta Abeliska topologiska grupper , som studeras i harmonisk analys; de förvandlar en grupp till dess dubbla grupp . Denna tolkning tillåter oss också att formulera faltningssatsen , som etablerar ett samband mellan Fouriertransformer och faltningar . Se även Pontryagins dualism .

Tolkning i termer av tid och frekvens

När det gäller signalbehandling tar transformeringen en tidsserierepresentation av en signalfunktion och mappar den till ett frekvensspektrum , där hörnfrekvensen är . Det vill säga, det förvandlar en funktion av tid till en funktion av frekvens ; det är nedbrytningen av en funktion till harmoniska komponenter vid olika frekvenser. $\omega$

När funktionen är en funktion av tid och representerar en fysisk signal , har transformationen en standardtolkning som signalens spektrum . Det absoluta värdet av den resulterande komplexa funktionen representerar amplituderna för motsvarande frekvenser ( ), medan fasförskjutningarna erhålls som ett argument för denna komplexa funktion. $f$ $F$ $\omega$

Fouriertransformer är emellertid inte begränsade till funktioner av tid och tidsfrekvenser. De kan tillämpas lika på analys av rumsliga frekvenser, såväl som på nästan vilken annan funktion som helst.

Viktiga formler

Följande tabell innehåller en lista över viktiga formler för Fouriertransformen. och betecknar Fourierkomponenterna för funktionerna respektive . och måste vara integrerbara funktioner eller generaliserade funktioner . $F(\omega)$ $G(\omega)$ $med)$ $g(t)$ $f$ $g$

Kvoten i denna tabell, och i synnerhet faktorer som , beror på konvention vilken form av definition för Fouriertransformen som har använts tidigare (även om kvoterna i allmänhet är korrekta). ${\sqrt {2\pi ))$

	Fungera	Bild	Anteckningar
ett	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Linjäritet
2	$f(ta)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Eftersläpning
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	frekvensförskjutning
fyra	$fett)$	$\|a\|^{{-1}}F\vänster({\frac {\omega }{a}}\höger)$	Om den är stor, är den koncentrerad nära noll och blir platt $a$ $fett)$ $\|a\|^{{-1}}F\vänster({\frac {\omega }{a}}\höger)$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n))))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Egenskapen för Fouriertransformen av den e derivatan $n$
6	$t^{n}f(t)$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n))))$	Detta är en omkastning av regel 5
7	$(f*g)(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Rekord betyder faltning och . Denna regel är faltningssatsen. $f*g$ $f$ $g$
åtta	$f(t)g(t)$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi ))))$	Denna överklagan 7
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\delta (t)$ betyder Dirac delta-funktionen
tio	$ett$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	Överklagande 9.
elva	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	Här är ett naturligt tal , är den generaliserade derivatan av Dirac delta-funktionen. Konsekvens av regler 6 och 10. Genom att använda den tillsammans med regel 1 kan du göra transformationer av alla polynom $n$ $\delta ^{{(n)}}(\omega )$ $n$
12	${\displaystyle e^{iat))$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	Följd 3 och 10
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Följd 1 och 12 med Eulers formel $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
fjorton	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	Även från 1 och 12
femton	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Indikerar att Gauss-funktionen matchar dess bild $\exp(-t^{2}/2)$
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	Den rektangulära funktionen är ett idealiskt lågpassfilter och sinc (x)-funktionen är dess tidsmässiga ekvivalent
17	${\frac {1}{t))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatörsnamn {sgn}(\omega )$	Här är sgn- funktionen . Denna regel överensstämmer med 6 och 10 $\operatörsnamn {sgn}(\omega )$
arton	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n))))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatörsnamn {sgn }(\omega )$	Generalisering 17
19	$\operatörsnamn {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Överklagande 17
tjugo	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Här är Heaviside-funktionen . Följer av reglerna 1 och 19 $\theta (t)$

Se även

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 sid.
Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digital Spectrum, Signal and Logic Analyzers / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Signalbehandling och filterdesign. - M. : SOLON-Press, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
Sergienko AB Digital signalbehandling. - 2:a uppl. - St Petersburg. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
M.A. Pavleino, V.M. Romadanov. Spektraltransformationer i MatLab. - St Petersburg. , 2007. - S. 160. - ISBN 978-5-983-40121-1 .

Länkar

Integral Transforms Arkiverad 11 juli 2007 på Wayback Machine EqWorld: The World of Mathematical Equations
Onlineberäkning av transformationen eller inverstransformeringen
"Fourier Transform" Arkiverad 4 juli 2015 på Wayback Machine - En interaktiv guide till Fourier Transform | BetterExplained Arkiverad 4 juli 2015 på Wayback Machine
Ronald N. Bracewell . Fouriertransform. Scientific American. I vetenskapens värld. Nr 8, 1989, s. 48-56 Arkiverad 24 maj 2017 på Wayback Machine

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation

Kompressionsmetoder _

Teori

Information	Egen Ömsesidig Entropi Villkorlig entropi Komplexitet Redundans
Enheter	Bit Nat Knapra Hartley Hartley formel

Förlust mindre

Entropikompression	Asymmetriska talsystem Huffman algoritm Adaptiv Huffman-algoritm Shannon-Fano algoritm Shannons algoritm Aritmetisk kodning ( intervall ) Golomb-koder Delta Universell kod Elias fibonacci
Ordboksmetoder	RLE Töm luften LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
Övrig	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Audio

Teori	Veck PCM Aliasing Provtagning Kotelnikovs teorem
Metoder	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP En lag μ-lag ADPCM MDCT Fouriertransform Psykoakustisk modell
Övrig	Ljudkompressor Talkompression Bandkodning

Bilder

Villkor	färg rymd Pixel Mättnad delsampling Kompressionsartefakter
Metoder	RLE DPCM fraktal vågkomponent EZW SPIHT LP PrEP PCL
Övrig	Bithastighet Standard testbild PSNR Kvantisering

Video

Villkor	Videoegenskaper Ram Ramtyper Videokvalitét
Metoder	Rörelsekompensation PrEP Kvantisering vågkomponent
Övrig	Video codec Rate distortion theory CBR ABR VBR

Avledningar av den latinska bokstaven F, f
Brev	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ Ff F̀f̀ F̄f̄ F̧f̧ ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
Symboler	ƒ ₣ ℉ ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019 Kvantiteter och enheter - Del 2: Matematik - 2 - ISO , 2019. - 36 sid.