Pontryagin dualitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 maj 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Pontryagin-dualitet är en generalisering av Fourier-transformen till lokalt kompakta Abeliska grupper.

Byggnad

Låt G vara en lokalt kompakt Abelsk topologisk grupp . I det här fallet kommer gruppen av tecken G ( av homomorfismer från G till U(1) ) också att vara lokalt kompakt och kallas Pontryagin- dubbelgruppen ( G^ ).

Enligt Pontryagins dualitetsteorem är gruppen G^^ kanoniskt isomorf till G , vilket motiverar användningen av termen dualitet . Ordet "kanoniskt" betyder att det finns en naturlig mappning från G till G^^ , i synnerhet är den funktionell . Denna mappning definieras enligt följande:

x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}.

Med andra ord är ett element x av G associerat med en mappning från G^ till U(1) , det vill säga ett element av G^^ .

Motivation

Pontryagin-dualiteten beskriver enhetligt ett antal välkända observationer relaterade till funktioner på den reella axeln eller på en ändlig Abelisk grupp:

komplext värderade tillräckligt jämna periodiska funktioner på den reella axeln har en expansion i en Fourier-serie och kan återställas från denna expansion
komplext värderade funktioner som är tillräckligt jämna och uppfyller vissa villkor för minskande funktion på den reella linjen har en Fourier-bild (detta är en funktion som också definieras på hela den reella linjen) och kan återställas från den
komplext värderade funktioner på en finit Abelisk grupp har också en diskret Fouriertransform , som är en funktion på den dubbla gruppen (den dubbla gruppen är isomorf till originalet, men inte på ett kanoniskt sätt). Återigen kan en funktion återställas från dess bild.
ett välkänt specialfall av föregående stycke, när en funktion och dess bild betraktas på ringen av rester Z_p. Detta fall menas vanligtvis när man talar om den diskreta Fouriertransformen .

Pontryagins teori om dualitet är i huvudsak baserad på teorin om dubbla grupper för att lokalt kompaktera Abelska grupper. Denna dualitet påminner på många sätt om sambandet mellan ett ändligt dimensionellt vektorrum V och det dubbelrum V*. Det finns ingen kanonisk isomorfism mellan dem, men algebrorna för deras linjära transformationer ( matrisalgebror ) är kanoniskt isomorfa (en isomorfism är en transponering av en matris ). På liknande sätt finns det ingen isomorfism mellan gruppen G och dess dubbla G^ i det allmänna fallet, men deras gruppalgebror är isomorfa, och den kanoniska isomorfismen som förbinder dem är Fouriertransformen.

Exempel

Här är exempel på lokalt kompakta Abeliska grupper:

Rn , betraktad som en grupp genom addition.
R + , uppsättningen av positiva reella tal som betraktas som en multiplikationsgrupp. Isomorf till R .
Vilken ändlig Abelisk grupp som helst med diskret topologi . Vilken sådan grupp som helst kan representeras som en produkt av cykliska grupper.
Mängden heltal Z betraktas som en grupp genom addition.
Fältet Z p av p-adiska tal som en grupp under addition med standard p-adiska topologin.

Gruppen U(1) och gruppen av heltal är dubbla till varandra, och de ( additiva ) grupperna av reella och komplexa tal är dubbla till sig själva. Alla finita Abeliska grupper är också självdubbla , i synnerhet finita cykliska grupper .

Mät Haar

En av de viktigaste egenskaperna hos lokalt kompakta grupper är att de har ett unikt (upp till en global konstant) naturligt mått som kallas Haarmåttet. Med hjälp av detta mått kan man bestämma "storleken" på Borel-delmängderna i gruppen. Borel-delmängder är element i σ-algebra som genereras av slutna undermängder av G .

Mer exakt finns det ett unikt (upp till en konstant) höger Haar-mått med rätt invarians μ( Ax ) = μ( A ). Här är x ett gruppelement och A är en Borel-delmängd av G .

Haarmåttet introducerat på G tillåter oss att introducera begreppet en integral av komplext värderade Borel-funktioner definierade på en grupp. I synnerhet kan vi betrakta utrymmena L p definierade enligt följande:

L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow {\mathbf {C}}\;\left|\;\int _{G}|f(x)|^{ p}\,d\mu (x)<\infty \right.\right\}.

Eftersom Haarmåttet är unikt upp till en konstant, beror de införda utrymmena inte på valet av ett specifikt mått, det vill säga de beror bara på själva gruppen G , så det är logiskt att beteckna dem L p (G) . Däremot beror normen på dessa utrymmen på valet av åtgärd.

Litteratur

Morris Sydney. Pontryagin-dualitet och strukturen för lokalt kompakta Abelian-grupper. - Moskva: Mir, 1980. - S. 104.