Gruppens natur

Karaktären är en multiplikativ komplexvärderad funktion på gruppen . Med andra ord, om är en grupp , då är tecknet en homomorfism från till den multiplikativa gruppen av ett fält (vanligtvis fältet med komplexa tal ). $G$ $G$

Ibland anses endast enhetliga tecken - homomorfismer i den multiplikativa fältgruppen vars bild ligger på enhetscirkeln , eller, i fallet med komplexa tal, homomorfismer till . Alla andra homomorfismer i kallas i detta fall kvasikarakterer . $U(1)$ $k^{*}$

Relaterade definitioner

Karaktären hos en topologisk grupp definieras som en kontinuerlig homomorfism in i den multiplikativa gruppen av ett fält. Följaktligen är karaktären hos en algebraisk grupp en rationell homomorfism i $k^{*}.$

Gruppvyns natur är en nära definition för gruppvyer , elementet visas i spåret av dess vy.

Egenskaper

För en godtycklig grupp bildar uppsättningen av tecken en Abelisk grupp med operationen $G$ ${\mathrm {Ch}}(G)$ $\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{{ab}}.$
- Denna grupp kallas gruppen av tecken .

Tecknen är linjärt oberoende , det vill säga om de är olika karaktärer i gruppen G , så följer det av likheten att $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

Tecken i U(1)

Ett viktigt specialfall av tecken är avbildningar till gruppen av komplexa tal modulo ett . Sådana tecken har formen , där , och studeras allmänt [1] [2] [3] [4] i talteorin i samband med fördelningen av primtal i oändliga aritmetiska progressioner . I detta fall är gruppen som studeras en restring med en additionsoperation och funktionen är linjär . Dessutom bestämmer uppsättningen av olika värden för den linjära koefficienten i funktionen en grupp tecken som är isomorfa till gruppen . ${\displaystyle \chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i))$ $\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\ circ b)$ ${\mathbb {Z} }_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ ${\mathbb {Z} }_{n}$

Exempel

Överväga ${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$

För vi definierar $\lambda =0,1,2$

{\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i))

En uppsättning med funktion av punktvis multiplikation bildar en grupp tecken i . Den neutrala delen av denna grupp är , eftersom . $\left\lbrace {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\right\rbrace$ $U(1)$ $\chi_0$ $\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i)) }=e^{0}=1$

Ett klassiskt exempel på att använda tecken modulo är Dirichlets primtalssats i aritmetisk progression .

För oändliga cykliska grupper isomorfa kommer det att finnas en oändlig uppsättning tecken av formen , där . ${\mathbb {Z} }$ ${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$ $\alpha \in(0;1)$

Tecken i ändligt genererade grupper

För en godtyckligt ändligt genererad Abelisk grupp är det också möjligt [5] att explicit och konstruktivt beskriva uppsättningen tecken i . För detta används satsen om sönderdelning av en sådan grupp till en direkt produkt av cykliska grupper . $(G,\circ )$ $U(1)$

Eftersom varje cyklisk grupp av ordning är isomorf till en grupp och dess tecken alltid mappar till mängden , då för en grupp som representeras av en direkt produkt av cykliska grupper , kan vi parametrisera tecknet som en produkt av tecknen i dessa cykliska grupper: $h$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h))$ $U(1)$ $\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace$ ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s))$ $G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$

\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e ^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots + {\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}

Detta tillåter oss att utföra en explicit isomorfism mellan gruppen själv och gruppen av dess karaktärer, lika med den i antalet element. $G$

{g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_ {s}}

Karaktärsegenskaper för ändliga grupper

För vi betecknar med tecknet som motsvarar elementet enligt schemat som beskrivs ovan. $g\in G$ $\chi _{g}:G\to U(1)$ $g$

Följande identiteter gäller [6] :

\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G |,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.

\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x =0\end{matris}}\right.

Variationer och generaliseringar

Om är en associativ algebra över fältet , då är tecknet en icke-noll homomorfism av algebra till . Om dessutom är en stjärnalgebra , $A$ $k$ $A$ $A$ $k$ $A$ [ förtydliga ] då är karaktären en stjärnhomomorfism till komplexa tal.

Se även

Pontryagin dualitet

Anteckningar

↑ A. O. Gelfond, Yu. V. Linnik , Elementary methods in analytic number theory, M: Fizmatgiz, 1962, sid. 61-66, 78-97
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion till analytisk talteori, M: Mir, 1974, sid. 142-165
↑ G. Davenport , Multiplicative number theory, M: Nauka, 1971, sid. 44-64
↑ A. Karatsuba , Fundamentals of analytic number theory, M: Nauka, 1983, sid. 114-157
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion till analytisk talteori, M: Mir, 1974, sid. 145-147
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion till analytisk talteori, M: Mir, 1974, sid. 147-159

Litteratur

Kirillov A. A. Element av representationsteori. - 2:a. - M. : Nauka, 1978. - 343 sid.
Naimark M. A. Representationsteori för grupper. - M. , 1978. - 560 sid.

Karaktärer i talteori och i gruppteori
Kvadratiska tecken	Symbol för Legendre Jacobi symbol Kronecker symbol - Jacobi
Karaktärer av kraftrester	Den kubiska återstodens natur Den biquadratiska restens natur Symbol för kraftrester

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform