Rayleigh vinkar

Rayleigh-vågor är akustiska ytvågor . De är uppkallade efter Rayleigh , som teoretiskt förutspådde dem 1885 [1] .

Beskrivning

Rayleigh-vågor utbreder sig nära ytan av en fast kropp. Fashastigheten för sådana vågor är riktad parallellt med ytan. Mediets partiklar i en sådan våg gör elliptiska rörelser i det sagittala planet (i vilket hastighetsvektorn och normalen till ytan ligger). Svängningsamplituderna avtar med avståndet från ytan enligt exponentiella lagar, och vågenergin koncentreras i området på ett avstånd av storleksordningen en våglängd från ytan [2] .

Rayleigh-våg i en isotrop kropp

Rörelseekvationen för en oändligt liten volym av ett homogent, isotropiskt och idealiskt elastiskt medium med en densitet ρ kan skrivas som:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(ett)

där U är förskjutningen av en oändligt liten volym i förhållande till jämviktspositionen, λ och μ är elastiska konstanter , Δ är Laplace-operatorn . För en given vågekvation söks lösningar i form av en överlagring av tvärgående och longitudinella förskjutningar U = U t + U l , där U l =grad φ och U t =rot ψ . φ och ψ är skalära och vektorpotentialer. Ekvation ( 1 ) för nya okända är en vågekvation för oberoende förskjutningskomponenter [3] :

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Om vågen utbreder sig längs x-axeln, kan endast svängningar i (x, z)-planet beaktas för det isotropa fallet. Med hänsyn till komponenternas oberoende från y för en plan övertonsvåg, tar vågekvationerna för potentialerna formen:

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{ \partial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{ \partial t^2}=0,

(3.2)

var är vågtalen för longitudinella och tvärgående vågor. Lösningarna av dessa ekvationer, om vi bara tar dämpade lösningar, presenteras i form av plana vågor [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

var ; ; ; A och B är godtyckliga konstanter. Dessa lösningar representerar den allmänna lösningen av vågekvationen för en dämpad våg, och för att hitta en speciell lösning är det nödvändigt att ställa in randvillkor på mediets yta. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Förskjutningskomponenterna representeras som:

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},

(5.1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.

(5.1)

I fallet med en fri gräns antar spänningstensorkomponenterna nollvärden:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z))+{\frac {\partial ^{2}\psi } {\partial x^{2))}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2))}\right)=0.

(6.2)

Efter att ha substituerat lösningar ( 4 ) får vi ett homogent system av linjära ekvationer med avseende på amplituderna A och B , som har en icke-trivial lösning endast om systemets determinant är lika med noll ( Rayleighs ekvation ), nämligen [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

var , . Denna ekvation har en enda rot relaterad till Rayleigh-vågen, som endast beror på Poissons förhållande ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0.87+1.12\nu}{1+\nu}.

(7)

Härifrån hittas förskjutningskomponenterna för Rayleigh-vågen [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ vänster[i\vänster(k_Rx-\omega t\höger)\höger].

(8.2)

Praktiska tillämpningar av vågor av Rayleigh-typ

Vågor av Rayleigh-typ (pseudo-Rayleigh-vågor) används framgångsrikt i tekniska seismiska undersökningar för att studera de elastiska parametrarna för stenar och jordar som ligger bakom tunnlarnas foder [7] , armerad betong, betongplattor, murverk eller beläggningar [8] . Vid en ökning av hastigheter med djup (som regel i studier från dagytan) bestäms hastigheterna för tvärvågor i det nedre lagret från spridningskurvorna för pseudo-Rayleigh-vågor (se figur). Denna metod används i stor utsträckning i praktiken och är motiverad ur elasticitetsteorin.

Anteckningar

↑ Lord Rayleigh. På vågor som utbreder sig längs den plana ytan av ett elastiskt fast ämne // Proc . London Math. soc. : journal. - 1885. - Vol. s1-17 , nr. 1 . - S. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , sid. elva.
↑ Viktorov I. A., 1981 , sid. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , sid. åtta.
↑ Viktorov I. A., 1981 , sid. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , sid. tio.
↑ Utvärdering av egenskaperna och tillståndet hos jordar bakom beklädnaden av transporttunnlar enligt 2D seismisk tomografi. Boyko O. V. (otillgänglig länk) . Hämtad 10 juli 2015. Arkiverad från originalet 10 juli 2015. (obestämd)
↑ Bestämning av fysiska och mekaniska egenskaper och hållfasthetsegenskaper hos jordar täckta med murverk, betong, armerade betongkonstruktioner och beläggning. (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 10 juli 2015. Arkiverad från originalet 9 juli 2015. (obestämd)

Litteratur

Viktorov IA Ljudvågor i fasta ämnen. — M .: Nauka, 1981. — 287 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Britannica (online)