Forcerade vibrationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 juni 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Forcerade svängningar - svängningar som uppstår under påverkan av yttre periodiska krafter.

Självsvängningar skiljer sig från påtvingade svängningar genom att de senare orsakas av en periodisk yttre verkan och inträffar vid frekvensen av denna verkan, medan förekomsten av självsvängningar och deras frekvens bestäms av de inre egenskaperna hos det självsvängande systemet i sig. .

Det enklaste och mest meningsfulla exemplet på forcerade svängningar kan erhållas från övervägandet av en harmonisk oscillator och en drivkraft som förändras enligt lagen: . $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$

Forcerade svängningar av en harmonisk oscillator

Den konservativa harmoniska oscillatorn

Newtons andra lag för en sådan oscillator kommer att skrivas i formen: . Om vi introducerar notationen: och ersätter accelerationen med andraderivatan av koordinaten med avseende på tid, får vi följande vanliga differentialekvation : $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$

\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

Lösningen av denna ekvation kommer att vara summan av den allmänna lösningen av den homogena ekvationen och den särskilda lösningen av den inhomogena. Den allmänna lösningen av den homogena ekvationen har redan erhållits här och den har formen:

x(t) = A \sin\vänster(\omega_0 t + \varphi\right)

där är godtyckliga konstanter, som bestäms från de initiala förhållandena. $A,\varphi$

Låt oss hitta en speciell lösning. För att göra detta ersätter vi en lösning av formen: i ekvationen och får värdet för konstanten: $x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)$

B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Då kommer den slutliga lösningen att skrivas som:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0)){\omega _{0}^{2}- \Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)

Resonans

Det kan ses från lösningen att när frekvensen för drivkraften är lika med frekvensen av fria svängningar är det inte lämpligt - resonans uppstår , det vill säga en "obegränsad" linjär ökning av amplituden med tiden. Från den matematiska analysens gång är det känt att lösningen i detta fall måste sökas i formen: . Genom att ersätta denna ansatz i differentialekvationen får vi det $x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)$

A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Således kommer oscillationer vid resonans att beskrivas av följande förhållande:

x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Dämpad harmonisk oscillator

Newtons andra lag:

ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)

Omdesigner:

\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{km}}

Differentialekvation:

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left (\Omega t\right)

Dess lösning kommer att byggas som summan av lösningar av en homogen ekvation och en speciell lösning av en inhomogen ekvation . En analys av den homogena ekvationen ges här . Vi tar fram och analyserar en viss lösning.

Drivkraften skriver vi så här: , sedan ska vi leta efter lösningen i formen: , där . Ersätt denna lösning i ekvationen och hitta ett uttryck för : $\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t))$ $A\in \mathbb {C}$ $A$

A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega }}={\frac {\Phi _ {0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }

var $|A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+ 4\zeta ^{2}\Omega ^{2)))),\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega }{\omega _{0}^{2}-\Omega ^ {2}}}$

Den kompletta lösningen ser ut så här:

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Åter\vänster[\ frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta ^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right]

var är den naturliga frekvensen för dämpade svängningar. $\omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$

Konstanterna och i vart och ett av fallen bestäms från de initiala förhållandena: $c_1$ $c_2$ $\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.$

I detta fall, till skillnad från en friktionsfri oscillator, har oscillationsamplituden vid resonans ett ändligt värde.

Om vi betraktar en stabil process, det vill säga en situation med , kommer lösningen av den homogena ekvationen att tendera till noll och endast en viss lösning kommer att finnas kvar: $t\, \till\, \infty$

x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t)) {\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2 )^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )

Detta betyder att vid , "glömmer" systemet de initiala förhållandena, och svängningarnas karaktär beror bara på drivkraften. $t\, \till\, \infty$

Arbetet som utförs av den drivande kraften i tiden är , och kraften är . Från ekvationen $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $dt\$ $F dx\$ $P = F \frac{dx}{dt}$

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

följer det

P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Om vi tar hänsyn till det med stadiga påtvingade svängningar

x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi )

\dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi )

\ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi)

då är medeleffekten över perioden: $T = \frac{2 \pi }{ \Omega }$

P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^ 2

Jobba för perioden

W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A ^2 m \zeta\omega_0 \Omega

Litteratur

Butikov E.I. Naturliga svängningar av en linjär oscillator. Studiehandledning . Arkiverad från originalet den 11 mars 2012. (obestämd)
Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Introduktion till teorin om oscillationer och vågor.