Den geodetiska krökningen av en kurva i Riemannsk geometri mäter hur långt en kurva avviker från en geodetisk . Till exempel, för en 1D-kurva på en 2D-yta kapslad i 3D-rymden , är kurvans krökning projicerad på ett plan som tangerar ytan. Mer allmänt, i ett givet grenrör, är den geodetiska krökningen den vanliga krökningen av en kurva (se nedan). Men om kurvan ligger i ett undergrenrör av grenröret (till exempel för ytkrökning ), hänvisar den geodetiska krökningen till krökningen i , och den skiljer sig i allmän form från krökningen i det omgivande grenröret . Den (omgivande) krökningen av en kurva beror på två faktorer – delrörets krökning i riktningen ( normal krökning ), som endast beror på kurvans riktning, och krökningen i grenröret (geodesisk krökning ), vilket är en andra ordningens kvantitet. Sambandet mellan dem är . I synnerhet geodetik på har noll geodetisk krökning ("räta linjer"), så att .
Betrakta en kurva på ett grenrör parametriserad av kurvlängden med en enhetstangensvektor . Dess krökning är lika med normen för den kovarianta derivatan av vektorn : . Om ligger på , är den geodetiska krökningen lika med normen för projektionen av den kovarianta derivatan på tangentutrymmet i undergrenröret. Tvärtom är den normala krökningen lika med normen för projektionen på det normala knippet av undergrenröret vid punkten i fråga.
Om det omgivande grenröret är ett euklidiskt rum , så är den kovarianta derivatan lika med den vanliga derivatan .
Låta vara en enhetssfär i tredimensionellt euklidiskt rum . Den normala krökningen för en sfär är 1, oavsett vilken riktning som beaktas. Storcirklar har krökning , så de har noll geodetisk krökning och är därför geodetiska. Mindre cirklar med radie kommer att ha krökning och geodetisk krökning .