Geodesisk krökning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Den geodetiska krökningen av en kurva i Riemannsk geometri mäter hur långt en kurva avviker från en geodetisk . Till exempel, för en 1D-kurva på en 2D-yta kapslad i 3D-rymden , är kurvans krökning projicerad på ett plan som tangerar ytan. Mer allmänt, i ett givet grenrör, är den geodetiska krökningen den vanliga krökningen av en kurva (se nedan). Men om kurvan ligger i ett undergrenrör av grenröret (till exempel för ytkrökning ), hänvisar den geodetiska krökningen till krökningen i , och den skiljer sig i allmän form från krökningen i det omgivande grenröret . Den (omgivande) krökningen av en kurva beror på två faktorer – delrörets krökning i riktningen ( normal krökning ), som endast beror på kurvans riktning, och krökningen i grenröret (geodesisk krökning ), vilket är en andra ordningens kvantitet. Sambandet mellan dem är . I synnerhet geodetik på har noll geodetisk krökning ("räta linjer"), så att . $k_{g}$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $k_{g}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $M$ ${\displaystyle k=k_{n))$

Definition

Betrakta en kurva på ett grenrör parametriserad av kurvlängden med en enhetstangensvektor . Dess krökning är lika med normen för den kovarianta derivatan av vektorn : . Om ligger på , är den geodetiska krökningen lika med normen för projektionen av den kovarianta derivatan på tangentutrymmet i undergrenröret. Tvärtom är den normala krökningen lika med normen för projektionen på det normala knippet av undergrenröret vid punkten i fråga. $\gamma$ ${\bar {M))$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Om det omgivande grenröret är ett euklidiskt rum , så är den kovarianta derivatan lika med den vanliga derivatan . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Exempel

Låta vara en enhetssfär i tredimensionellt euklidiskt rum . Den normala krökningen för en sfär är 1, oavsett vilken riktning som beaktas. Storcirklar har krökning , så de har noll geodetisk krökning och är därför geodetiska. Mindre cirklar med radie kommer att ha krökning och geodetisk krökning . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Vissa resultat med geodetisk krökning

Den geodetiska krökningen är ingenting annat än den vanliga krökningen beräknad på undergrenröret . Det beror inte på hur undergrenröret är placerat i . $M$ $M$ ${\bar {M))$
Den geodetiska på har noll geodetisk krökning, vilket motsvarar att säga att det är ortogonalt mot tangentrymden till . $M$ $DT/ds$ $M$
Å andra sidan beror den normala krökningen strikt på hur undergrenröret är placerat i det omgivande utrymmet, men lite på kurvan - det beror bara på punkten på grenröret och riktningen , men inte på . $k_n$ $T$ $DT/ds$
I den allmänna Riemannska geometrin beräknas derivatan med hjälp av Levi-Civita-anslutningen för omgivande grenrör: . Den delas upp i en tangentdel och en normal del för ett undergrenrör, . Tangentdelen är den vanliga derivatan av v ( detta är ett specialfall av Gaussekvationen för Peterson-Codazzis ekvation ), medan normaldelen är , där är den andra kvadratiska formen av . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla}}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla}}_{T}T)^{\perp }$ $\nabla _{T}T$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Gauss-Bonnet formel .

Se även

Litteratur

Manfredo P. do Carmo. Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Heinrich Guggenheimer. Ytor // Differentialgeometri. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Geodesic curvature // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.

Länkar

Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .