Riemann geometri

Riemann - geometri (även kallad elliptisk geometri ) är en av de icke-euklidiska geometrierna med konstant krökning (de andra är Lobachevsky-geometri och sfärisk geometri ). Om Euklids geometri realiseras i ett rum med noll Gaussisk krökning , Lobachevsky - med negativ, så realiseras Riemanns geometri i ett rum med konstant positiv krökning (i det tvådimensionella fallet, på det projektiva planet och lokalt på sfären ).

I Riemannsk geometri definieras en linje av två punkter, ett plan av tre, två plan skär längs en linje och så vidare, men i Riemannsk geometri finns det inga parallella linjer. I Riemann geometri, som i sfärisk geometri, är påståendet sant: summan av vinklarna i en triangel är större än två räta linjer, formeln äger rum där är summan av vinklarna i en triangel, är sfärens radie på vilken geometrin är implementerad. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

Riemanns tvådimensionella geometri liknar sfärisk geometri , men skiljer sig genom att två "linjer" inte har två, som i sfärisk, utan bara en skärningspunkt. Genom att identifiera sfärens motsatta punkter erhålls ett projektivt plan , vars geometri uppfyller axiomen för Riemannsk geometri.

Betrakta nämligen en sfär centrerad vid en punkt i det tredimensionella rummet . Varje punkt , tillsammans med mitten av sfären , definierar någon rät linje , det vill säga någon punkt i det projektiva planet . Juxtapositionen definierar kartläggningen , storcirklar på (räta linjer i sfärisk geometri) går in i raka linjer på det projektiva planet , medan exakt två punkter i sfären går till en punkt: tillsammans med punkten och punkten diametralt motsatt den (se figur). De euklidiska rörelserna i rymden , som tar sfären in i sig själv, ger några bestämda transformationer av det projektiva planet , som är rörelser av Riemannsk geometri. I Riemannsk geometri skär alla linjer, eftersom detta är sant för det projektiva planet, och det finns alltså inga parallella linjer i det. $S$ $O$ $E$ $A\i S$ $O$ $l\delmängd E$ $A_{*}$ $\Pi$ $A\till A_{*}$ $S\to\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\i \Pi$ $A\i S$ $A'\in S$ $E$ $S$ $\Pi$

En av skillnaderna mellan Riemanns geometri och euklidiska geometri och Lobachevskys geometri är att det inte finns något naturligt begrepp "punkt C ligger mellan punkterna A och B " i den (detta begrepp saknas också i sfärisk geometri). Faktum är att en stor cirkel på sfären visas på den raka linjen av det projektiva planet , och två diametralt motsatta punkter på sfären och passerar till en punkt . På samma sätt går prickar till en punkt och prickar går till en punkt . Alltså, med lika skäl, kan vi anta att punkten ligger mellan och och att den inte ligger mellan dem (se figur). $\Pi$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\i \Pi$ $B,B'$ $B_{*}\i \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\i \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Litteratur

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometry. — M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Vad är icke-euklidisk geometri. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometri av utrymmen med konstant krökning. I: Itogi nauki i tekhniki. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometry. / Per. från franska - M.: Mir, 1984. - Volym II, del V: sfärens inre geometri, hyperbolisk geometri, sfärernas rymd.
Efimov N. V. Högre geometri. - 7:e uppl. — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 sid. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Icke-euklidisk geometri. - Vilken upplaga som helst.
Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 1025719271