Weils hypoteser

Weils gissningar är matematiska gissningar om lokala zetafunktioner hos projektiva varieteter över finita fält .

Weils gissningar säger att lokala zetafunktioner måste vara rationella , uppfylla en funktionell ekvation och ha sina nollor ligga på de kritiska linjerna. De två sista hypoteserna liknar Riemann-hypotesen för Riemanns zeta-funktion .

Hypoteser i allmän form formulerades av André Weil 1949, rationalitet bevisades av Bernard Dwork 1960, en funktionell ekvation av Alexander Grothendieck 1965, en analog till Riemann-hypotesen av Pierre Deligne 1974 [1] .

Uttalande av Weyls hypoteser

Låta vara en icke -singular- dimensionell projektiv algebraisk variation över ett ändligt fält . Dess kongruens zeta-funktion definieras som $X$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k} \höger),

där är antalet punkter över den dimensionella förlängningen av fältet . Lokal zeta-funktion . $N_{k}$ $X$ $k$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $\mathbb {F} _{q}$ $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$

Weyls hypoteser säger följande:

1. (Rationalitet) är en rationell funktion . Mer exakt kan den representeras som en slutprodukt $Z(X,\;T)$ $T$ $Z(X,\;T)$

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1))={\frac {P_ {1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},

där var och en är ett polynom med heltalskoefficienter. Dessutom , och för alla över , och är några algebraiska heltal . $P_{i}(T)$ $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$ $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle \alpha _{ij))$

2. (Funktionell ekvation och Poincaré-dualitet ) Zetafunktionen uppfyller relationen

\zeta (X,\;ns)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)

eller likvärdig

Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\; T),

var är Euler-karakteristiken (självskärningsindex för diagonalen i ). $E$ $X$ $\Delta (X)$ $X\ gånger X$

3. (Riemanns hypotes) för alla . Det följer att alla nollor ligger på den "kritiska linjen" . $I j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$ $P_{k}(q^{-s})$ $\operatörsnamn {Re} s=k/2$

4. (Betti-tal) Om är en bra reduktion modulo en icke- singular projektiv variation definierad över något talfält inbäddat i fältet av komplexa tal , då är graden av , där är Betti-talet för utrymmet av komplexa punkter . $X$ $sid$ $Y$ $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$ $\beta _{i}$ $Y$

Anteckningar

↑ Deligne, Pierre . La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : tidskrift. - Bures-sur-Yvette: Institut des hautes études scientifiques , 1974. - Vol. 43. - P. 273-307. — ISSN 0073-8301 . - doi : 10.1007/BF02684373 . — . — MR 340258 Arkiverad 3 november 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 sid.