Differentialkalkyl över kommutativa algebror

Differentialkalkyl över kommutativ algebra är en gren av kommutativ algebra som uppstod på sjuttiotalet av förra seklet.

Skalära operatorer

Låt vara ett fält, vara en algebra över ett fält , kommutativ och med enhet, och vara en -linjär avbildning, . Alla element i algebra kan förstås som en multiplikationsoperator: . Operatörerna och , generellt sett, pendlar inte, och jämställdheten gäller om och bara om är en -homomorfism. $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $a\i A$ $a(b)=ab,\ b\in A$ $a$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $A$

Definition 1 . kallas en differentialoperator (DO) av ordning från till om för någon $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $A$ $A$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

Uppsättningen av alla TO:er av beställning från till betecknas med . Summan av två DOs av ordning kommer återigen att vara DOs av ordning , och mängden är stabil med avseende på både vänster och höger multiplikation med element i algebra , så den är utrustad med den naturliga bimodulstrukturen över . $\leq n$ $A$ $A$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $A$ $A$

Härledningar

Algebrapunkter kallas -homomorfismer från till . Beteckna mängden av alla punkter i algebra , utrustad med Zariski-topologin, med . Algebraelement kan förstås som funktioner på rummet genom inställning . $A$ $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $A$ $\vert A\vert$ $A$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

Definition 2 . En avbildning kallas en tangentvektor till rymden vid en punkt om den uppfyller Leibniz-regeln vid den punkten: $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

Mängden av alla tangentvektorer i en punkt har den naturliga strukturen av ett vektorrum över . Det kallas tangentutrymmet för rummet vid punkten . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

Definition 3 . En mappning kallas en härledning av en algebra med värden i om den uppfyller Leibniz-regeln: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Uppsättningen av alla härledningar av en algebra med värden i har den naturliga strukturen av en vänster -modul. (Högermultiplikation bevarar inte denna mängd.) Varje differentiering definierar en familj av tangentvektorer för alla punkter : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ ${\displaystyle \Delta _{z))$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

Härledningar är naturligtvis FÖRE beställningen : $\leq 1$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

En naturlig isomorfism av vänster -moduler definieras $A$

\mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.

Smidiga funktioner

Om är algebra för släta funktioner på grenröret , så är det naturligt försett med strukturen av ett slätt grenrör och det visar sig att . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$

Teorem . Låt och vara ett system av lokala koordinater i någon stadsdel av . Då kan begränsningarna på och på skrivas i följande form $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\dots,x_n$ $U\subset M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\summa _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |} }{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Med andra ord, för algebra av jämna funktioner på M, sammanfaller den "algebraiska" definitionen av DO med den klassiska, och härledningar av algebra är vektorfält på . $C^{\infty }(M)$ $M$

Allmänt fall

Låt vara moduler över . Definitionerna 1 och 3 överförs oförändrade till detta fall: $P,\Q$ $A$

Definition 4 . -homomorfism kallas en linjär differentialoperator av ordning från till ~ om för någon $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $F$ $P$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

Definition 5 . En mappning kallas en härledning av en algebra med värden i om den uppfyller Leibniz-regeln: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Uppsättningen av alla DOs av ordning från till är en bimodul över , och uppsättningen av alla härledningar av till är en vänster -modul. $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $F$ $P$ $A$ $\mathrm {D} (P)$ $A$ $P$ $A$

Om är algebra för jämna funktioner på grenröret , då de projektiva ändligt genererade -modulerna är inga mindre än modulerna av sektioner av ändligt dimensionella vektorbuntar över . I det här fallet beskriver Definition 4 DOs på vektorvärderade funktioner som omvandlar dem till vektorvärderade funktioner, medan Definition 5 beskriver vektorvärdade vektorfält. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $A$ $M$

Representera objekt och geometrisering

Fungerar och är representativa: $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Teorem . 1. Det finns unika -moduler och härledningar så att det för varje -modul finns en naturlig isomorfism $A$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $A$ $F$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Det finns unika -moduler och DO av ordning så att det för varje -modul finns en naturlig isomorfism $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $A$ $F$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

Derivation och DO kallas universell differentiering och universell DO av ordning , respektive, och modulerna och kallas modulen av differentiella former av första ordningen och modulen för ordningsstrålar . (Ibland används termen "jet" istället för termen "jet".) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

Moduler och beskrivs helt enkelt "på fingrarna". Nämligen genereras -modulen av alla möjliga element i formen för vilka följande relationer gäller: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\ p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A

, var och så vidare.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

På samma sätt genereras -modulen av alla möjliga element i formen för vilka följande relationer gäller: $A$ $\lambda$ $da,\ a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A

d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A

Det skulle vara naturligt att förvänta sig även här att differentialformerna för algebra kommer att visa sig vara "vanliga" differentialformer på grenröret , och strålarna - "vanliga" jetstrålar , men så är inte fallet. Anledningen till detta är förekomsten av osynliga element i algebraiska konstruktioner , det vill säga icke-noll element, som ändå är lika med noll vid varje punkt i grenröret . Till exempel, låt , differentialformen är icke-noll, men . Moduler över som inte innehåller osynliga element kallas geometriska. För varje -modul bildar uppsättningen av alla osynliga element en undermodul vars faktor är en geometrisk modul och betecknas med . Modulerna och , där är en geometrisk modul, kommer att vara de representerande objekten för funktorer och i kategorin geometriska moduler över . De visar sig vara isomorfa för modulen av "vanliga" differentialformer respektive modulen för "vanliga" jetstrålar. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{1))$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ ${\displaystyle (e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1))$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty }(M)$

Graderade algebror

Denna teori kan lätt överföras till fallet med graderade algebror (superalgebror i den gamla terminologin), där den i synnerhet ger en ny titt på sådana konstruktioner som integralformer och Berezin-integralen.

Applikationer

Det faktum att differentialkalkyl är en gren av kommutativ algebra är intressant i sig och är nära relaterat till ett av de viktigaste fysiska begreppen --- begreppet det observerbara . Invarianta algebraiska konstruktioner gör det möjligt att arbeta där det klassiska koordinatupplägget är för krångligt, eller till och med omöjligt, till exempel när det gäller mångfalder med singulariteter eller oändligt dimensionella. De används i Hamiltonsk och Lagrangiansk mekanik , teorin om bevarandelagar, sekundärkalkyl , för att inte tala om algebraisk och differentialgeometri .

Historisk bakgrund

Definitionen av DO i kategorin moduler över kommutativa algebror dök upp, oberoende av varandra, i verk av P. Gabriel [1] , S. Suzuki [2] och A. M. Vinogradov [3] . Men bara A. M. Vinogradov insåg den fulla betydelsen av den algebraiska inställningen till DO, och det huvudsakliga bidraget till utvecklingen av denna teori gjordes av honom och hans elever.

Se även

Anteckningar

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique Marie (9646-1), Lect. Anteckningar i matematik. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Differentials of commutative rings, Queen's University-uppsatser i ren och tillämpad matematik, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Algebra of logic of theory of linear differential operators Arkiverad 12 december 2021 på Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Litteratur

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables , MCNMO, Moskva, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , Vad är Hamiltonsk formalism? // Framsteg inom matematiska vetenskaper. - 1975. - V. 30, nummer 1 (181), - s. 173–198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Introduktion till geometrin för icke-linjära differentialekvationer, kapitel 1. Linjära differentialoperatorer i kommutativa algebras M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Vissa homologiska system kopplade till differentialkalkyl i kommutativa algebror // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, nummer 6 (210), - s. 145–150.
IS Krasil'shchik , föreläsningar om linjära differentialoperatorer över kommutativa algebror. Eprint DIPS-01/98
Algebraiska aspekter av differentialkalkyl, redigerade av Joseph Krasil'shchik och Alexandre Vinogradov , - Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volym 49, Issue 3, December 1997, 321 sidor, ISSN: 0167-8019. (Artiklar i detta nummer är individuellt tillgängliga elektroniskt: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. och Sciences, Opava (Tjeckien), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Differentialkalkylens logik och geometriska strukturers zoo, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Kohomologisk analys av partiella differentialekvationer och sekundärkalkyl, — AMS "Translation of Mathematical Monographs"-serien, vol. 204, 247 sidor, 2001.