Omkrets

En cirkels omkrets (av latinets circumferens ) är längden av en sluten plan kurva som avgränsar en cirkel. Eftersom en cirkel är gränsen för en cirkel, eller skiva, är en cirkels omkrets ett specialfall av omkrets [1] [2] . Omkretsen är den totala längden på formens kant.

Cirkel

En cirkels omkrets kan definieras som gränsen för en sekvens av omkretsar av regelbundna polygoner inskrivna i en cirkel [3] . Termen omkrets används vid mätning av fysiska föremål, såväl som när man överväger abstrakta geometriska former.

Omkrets och pi

En cirkels omkrets är relaterad till en av de viktigaste matematiska konstanterna, pi . Siffran pi betecknas med den grekiska bokstaven pi ( ). De första siffrorna i ett tal i decimalnotation är 3,141592653589793 ... [4] Pi definieras som förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter : $\pi$ $C$ $d$

\pi ={\frac {C}{d))

Eller på motsvarande sätt som förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess två radier . Formeln ovan blir:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

Användningen av konstanten är allestädes närvarande i vetenskap och tillämpningar. $\pi$

I boken " Measuring the circle ", skriven omkring 250 f.Kr., visade Arkimedes att detta förhållande ( eftersom han inte använde notationen ) är större än 3 $C/d$ $\pi$ tio71, men mindre än 3ett7, beräkna omkretsen av en inskriven och omskriven polygon med 96 sidor [5] . Denna metod för att approximera ett tal har använts i århundraden, eftersom den har större noggrannhet än polygonformler med ett stort antal sidor. Den sista sådan beräkningen gjordes 1630 av Christoph Greenberger , med användning av polygoner med 10 40 sidor. $\pi$

Ellips

Det finns ingen generell formel för att beräkna längden på gränsen för en ellips i termer av ellipsens stora och mindre halvaxlar, som endast skulle använda elementära funktioner. Det finns dock ungefärliga formler där dessa parametrar förekommer. En av uppskattningarna erhölls av Euler (1773); omkretsen av en ellips skriven av den kanoniska ekvationen:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

ungefär lika med

C_{\rm {ellips}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Nedre och övre gränser för omkretsen av den kanoniska ellipsen vid [6] . $a\geq b$

2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,

\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Här är den övre gränsen längden av den omskrivna koncentriska cirkeln som passerar genom ändpunkterna på ellipsens stora axlar, och den nedre gränsen är omkretsen av den inskrivna romben , vars hörn är ändarna på de stora och små axlarna. $2\pi a$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2))))$

Omkretsen av en ellips kan beskrivas med den kompletta elliptiska integralen av det andra slaget [7] . Mer exakt:

C_{\rm {ellips}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\ theta,

var är längden på den stora halvaxeln och är excentriciteten $a$ $e$ ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Se även

Anteckningar

↑ Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3:e upplagan), Addison-Wesley, sid. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
↑ San Diego State University. Omkrets, area och omkrets (länk ej tillgänglig) . Addison-Wesley (2004). Hämtad 6 mars 2020. Arkiverad från originalet 6 oktober 2014. (obestämd)
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (Eng.) , W. H. Freeman and Co., sid. 565, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796 , On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS , OEIS Foundation.
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics/An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, sid. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8 , < https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 >
↑ Jameson, GJO Inequalities for the perimeter of an ellips // Mathematical Gazette : journal. - 2014. - Vol. 98 , nr. 499 . - S. 227-234 . - doi : 10.2307/3621497 . — .
↑ Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, det aritmetiskt-geometriska medelvärdet, ellipser, pi, and the Ladies Diary (engelska) , American Mathematical Monthly vol. 95 (7): 585–608 , doi : 10.2307/2323302 , < https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52 >

Litteratur

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Ytterligare kapitel för läroboken i 8:e klass // Geometry. — 3:e upplagan. — M. : Vita-Press, 2003.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sidor.

Länkar

Numericana - Omkrets av en ellips