Burnside problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Burnside-problemet  är en serie problem inom gruppteorin kring frågan om möjligheten att bestämma en grupps ändlighet endast baserat på egenskaperna hos dess element: ska en ändligt genererad grupp där varje element har en ändlig ordning nödvändigtvis vara ändlig.

Formulerad av Burnside 1902 . Det anses vara ett av gruppteorins nyckelproblem.

När vissa villkor läggs till erhålls det begränsade Burnside-problemet, det försvagade Burnside-problemet.

Historik

Inledande ansträngningar inriktades på en positiv lösning på problemet, eftersom alla kända specialfall gav ett positivt svar. Till exempel, om en grupp genereras av element och ordningen för vart och ett av dess element är en divisor av 4, då är den ändlig. Dessutom bevisade Kostrikin 1959 (i fallet med en enkel exponent ) [1] och på 1980 -talet Zelmanov (i fallet med en primär exponent) att det bland de finita grupperna med ett givet antal generatorer och exponenter finns den största . Klassificeringen av finita enkla grupper och resultaten av Kostrikin-Zelmanov innebär att det finns den största finita gruppen bland alla finita grupper med ett givet antal generatorer och en given exponent.

Det allmänna svaret på Burnside-problemet visade sig dock vara negativt. År 1964 konstruerade Golod och Shafarevich en oändlig grupp av Burnside-typ utan att anta att varje element har en enhetligt avgränsad ordning. År 1968 föreslog Novikov och Adyan en negativ lösning på problemet med en begränsad exponent för alla udda exponenter större än 4381 [2] [3] [4] . 1975 förbättrade Adian metoden och gav en negativ lösning på problemet med en gränsad exponent för alla udda exponenter större än 665 [5] . 1982 hittade Olshansky flera motexempel (särskilt Tarski-monstret ) för tillräckligt stora udda exponenter (större än ) och gav ett bevis baserat på geometriska idéer.

Fallet med en jämn exponent visade sig vara mer komplicerat. 1992 tillkännagav Ivanov en negativ lösning för tillräckligt stora jämna exponenter som är delbara med stora potenser 2 (ett detaljerat bevis publicerades 1994 och tog cirka 300 sidor). Senare, i ett gemensamt arbete, gav Olshansky och Ivanov en negativ lösning för en analog av Burnside-problemet för fallet med hyperboliska grupper, förutsatt att exponenten är tillräckligt stor.

Tillstånd för problemet

The Unbounded Burnside Problem . I en ändligt genererad grupp har alla element en ändlig ordning. Även om det är möjligt att dessa beställningar totalt sett inte är begränsade. Följer det av detta att gruppen har ett ändligt antal element?

Det begränsade Burnside-problemet . I en ändligt genererad grupp överstiger inte beställningarna av alla element ett givet antal. Är det sant att detta är en grupp av ändlig ordning?

Anteckningar

  1. ↑ Kostrikin, A. I. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR // Mathematical Series. - 1959. - v. 23. - Nr 1. - sid. 3-34.
  2. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om oändliga periodiska grupper. I  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, nummer 1 . - S. 212-244 .
  3. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om oändliga periodiska grupper. II  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, nummer 2 . - S. 251-524 .
  4. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om oändliga periodiska grupper. III  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, nummer 3 . - S. 709-731 .
  5. ↑ Adyan S.I. Burnside-problem och identiteter i grupper. - M . : Nauka, 1975. - S. 336.

Litteratur

Länkar